Question

3.
$x - y < 3$
$10x - 5y > 15$

Explanation:

Step1: 化简第二个不等式

对\(10x - 5y>15\)两边同时除以\(5\)，根据不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得\(2x - y>3\)，进一步变形为\(y < 2x - 3\)。
同时，对第一个不等式\(x - y<3\)进行变形，移项可得\(y>x - 3\)。

Step2: 分析两个不等式的关系

我们得到\(y>x - 3\)和\(y < 2x - 3\)。现在考虑对于任意的\(x\)，\(2x-3-(x - 3)=2x - 3 - x + 3=x\)。
当\(x>0\)时，\(2x - 3>x - 3\)，此时需要\(x - 30\)），不过我们可以取特殊值来验证，比如令\(x = 1\)，则第一个不等式\(1 - y<3\)，即\(y>- 2\)；第二个不等式\(10\times1-5y>15\)，即\(- 5y>5\)，\(y < - 1\)，此时\(-2-1\)；第二个不等式\(20 - 5y>15\)，\(-5y>-5\)，\(y < 1\)，此时\(-1重新化简第二个不等式：\(10x-5y > 15\)，两边除以\(5\)得\(2x - y>3\)，即\(y<2x - 3\)；第一个不等式\(x - y<3\)即\(y>x - 3\)。
现在求\(x - 3<2x - 3\)的解，移项得\(x - 3-2x + 3<0\)，即\(-x<0\)，解得\(x>0\)。
当\(x = 0\)时，第一个不等式\(0 - y<3\)，\(y>-3\)；第二个不等式\(0 - 5y>15\)，\(y < - 3\)，此时\(y>-3\)和\(y < - 3\)没有交集，无解。
当\(x<0\)时，\(2x-3-(x - 3)=x<0\)，所以\(2x - 3x - 3\)就要求\(2x - 3>x - 3\)，这与\(x<0\)时\(2x - 3当\(x = 0\)时，\(y>-3\)和\(y < - 3\)矛盾，无解；当\(x>0\)时，\(x - 3<2x - 3\)，但是我们看\(y>x - 3\)且\(y<2x - 3\)，即\(x - 3<2x - 3\)（\(x>0\)），所以\(x>0\)时，\(x - 3<2x - 3\)成立，但是我们取\(x = 1\)，\(y\)需要满足\(y>1 - 3=-2\)且\(y<2\times1 - 3=-1\)，即\(-2由\(y>x - 3\)和\(y<2x - 3\)，要使这个不等式组有解，需要\(x - 3<2x - 3\)，即\(x>0\)，同时对于\(y\)来说，存在\(y\)使得\(x - 30\)时，\(2x-3-(x - 3)=x>0\)，所以区间长度为\(x\)，当\(x>0\)时，这个区间是存在的，比如\(x = 4\)，第一个不等式\(4 - y<3\)，\(y>1\)；第二个不等式\(40 - 5y>15\)，\(-5y>-25\)，\(y < 5\)，此时\(1但是我们之前的错误在于当\(x = 0\)时，\(y>-3\)和\(y < - 3\)矛盾，\(x<0\)时，\(2x - 3x - 3\)要求\(2x - 3>x - 3\)不成立，所以只有当\(x>0\)时，不等式组有解？
不对，我们再仔细看，第一个不等式\(x - y<3\)即\(y>x - 3\)；第二个不等式\(10x - 5y>15\)即\(y<2x - 3\)。
现在求\(y\)的取值范围的交集，即\(x - 30\)。
当\(x>0\)时，这个区间是存在的，因为\(2x-3-(x - 3)=x>0\)，所以对于任意的\(x>0\)，我们可以找到\(y\)满足\(x - 3但是我们之前的分析有误，现在重新整理：
不等式组为\(

$$\begin{cases}x - y<3\\10x - 5y>15\end{cases}$$

\)
化简第二个不等式得\(2x - y>3\)，即\(y<2x - 3\)；第一个不等式化简得\(y>x - 3\)。
现在，我们可以将两个不等式看作关于\(y\)的不等式，要使\(y\)存在，需要\(x - 3<2x - 3\)，即\(x>0\)。
当\(x>0\)时，\(x - 3<2x - 3\)，所以\(y\)的取值范围是\((x - 3,2x - 3)\)，这个区间是有效的，因为区间长度为\(x>0\)，所以不等式组的解为\(x>0\)且\(x - 3不过我们再用另一种方法，将两个不等式相减，第一个不等式乘以\(5\)得\(5x-5y < 15\)，第二个不等式是\(10x - 5y>15\)，用第二个不等式减去第一个不等式（注意不等式相减的规则：\(a>b\)，\(cb - d\)），所以\((10x - 5y)-(5x - 5y)>15 - 15\)，即\(5x>0\)，解得\(x>0\)。
当\(x>0\)时，第一个不等式\(x - y<3\)，\(y>x - 3\)；第二个不等式\(10x - 5y>15\)，\(y<2x - 3\)，因为\(x>0\)，所以\(2x - 3-(x - 3)=x>0\)，即\(2x - 3>x - 3\)，所以\(y\)的取值范围是\(x - 30\)且\(x - 3

Answer:

不等式组的解为\(\boldsymbol{\{ (x,y)\mid x > 0,x - 3 < y < 2x - 3\}}\)（或者用区间表示，当\(x>0\)时，\(y\)满足\(x - 3