Question

montrer que léquation f(x)=0 admet au moins une solution sur lintervalle i dans les cas suivants : 1) f(x)=x³ - 2x² - 1 et i=2;3. 2) f(x)=x + tanx - 1 et i=0;π/4. 3) f(x)=x⁴ + x² + 4x - 1 et i=0;1. 4) f(x)=x - 2sinx et i=π/3;π. dans chacun des cas suivants, montrer que léquation propose admet une solution unique dans i. 1) 2x³ + 3x - 2 = 0 et i=0;1. exercice 06

Explanation:

Step1: Vérifier la continuité de la fonction

Pour montrer qu'une équation $f(x)=0$ a au moins une solution dans un intervalle $[a;b]$, on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. D'abord, on doit vérifier que $f(x)$ est continue sur $[a;b]$. Les fonctions $x^{3}$, $x^{4}$, $x$, $\tan x$, $\sin x$ sont continues sur leurs domaines de définition. Les fonctions polynomiales sont continues partout et $\tan x$ est continue sur $[0;\frac{\pi}{4}]$ (hors des asymptotes verticales qui ne sont pas dans cet intervalle), $\sin x$ est continue partout.

Step2: Calculer la valeur de la fonction aux extrémités de l'intervalle

Cas 1: $f(x)=x^{3}-2x^{2}-1$ et $I = [2;3]$

$f(2)=2^{3}-2\times2^{2}-1=8 - 8-1=-1$
$f(3)=3^{3}-2\times3^{2}-1=27 - 18 - 1 = 8$
Puisque $f(x)$ est continue sur $[2;3]$ (fonction polynomiale) et $f(2)<0$ et $f(3)>0$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $c\in[2;3]$ tel que $f(c) = 0$.

Cas 2: $f(x)=x+\tan x - 1$ et $I=[0;\frac{\pi}{4}]$

$f(0)=0+\tan(0)-1=-1$
$f(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}+\tan(\frac{\pi}{4})-1=\frac{\pi}{4}+1 - 1=\frac{\pi}{4}>0$
Puisque $f(x)$ est continue sur $[0;\frac{\pi}{4}]$ (somme de fonctions continues) et $f(0)<0$ et $f(\frac{\pi}{4})>0$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $c\in[0;\frac{\pi}{4}]$ tel que $f(c)=0$.

Cas 3: $f(x)=x^{4}+x^{2}+4x - 1$ et $I = [0;1]$

$f(0)=0^{4}+0^{2}+4\times0 - 1=-1$
$f(1)=1^{4}+1^{2}+4\times1 - 1=1 + 1+4 - 1=5$
Puisque $f(x)$ est continue sur $[0;1]$ (fonction polynomiale) et $f(0)<0$ et $f(1)>0$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $c\in[0;1]$ tel que $f(c)=0$.

Cas 4: $f(x)=x - 2\sin x$ et $I=[\frac{\pi}{3};\pi]$

$f(\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3}-2\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3}-2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}\approx\frac{3.14}{3}-1.732\approx1.05 - 1.732<0$
$f(\pi)=\pi-2\sin(\pi)=\pi>0$
Puisque $f(x)$ est continue sur $[\frac{\pi}{3};\pi]$ (somme de fonctions continues) et $f(\frac{\pi}{3})<0$ et $f(\pi)>0$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $c\in[\frac{\pi}{3};\pi]$ tel que $f(c)=0$.

Answer:

Pour chacun des cas, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on a montré que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $I$ car la fonction $f(x)$ est continue sur $I$ et $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés pour $a,b$ les extrémités de $I$.