Question

no work = no credit
name
period
2 - 2 day 1 - angle relationships
example 1

1. find the measures of two supplementary angles if the difference between the measures of the two angles is 35°. calcula las medidas de dos ángulos suplementarios si la diferencia entre las medidas de los dos ángulos es 35°.
2. the measure of an angles supplement is 76° less than the measure of the angle. find the measure of the angle and its supplement.. la medida del suplemento de un ángulo es 76° menor que la medida del ángulo. encuentra la medida del ángulo y su suplemento.
3. the measure of the supplement of an angle is three times the measure of the angle. find the measures of the angle and its supplement. la medida del suplemento de un ángulo es tres veces la medida del ángulo. encuentra las medidas del ángulo y su suplemento.

example 2

1. rays ba and bc are perpendicular. point d lies in the interior of ∠abc. if m∠abd=(3r + 5)° and m∠dbc=(5r - 27)°, find m∠abd and m∠dbc. los rayos ba y bc son perpendiculares. el punto d se encuentra en el interior de ∠abc. si m∠abd=(3r + 5)° y m∠dbc=(5r - 27)°, encuentre m∠abd y m∠dbc.
2. refer to the figure at the right. if m∠2=(a + 15)° and m∠3=(a + 35)°, find the value of a so that (overrightarrow{hl}perpoverrightarrow{hj}). consulte la figura de la derecha. si m∠2=(a + 15)° y m∠3=(a + 35)°, encuentre el valor de a tal que (overrightarrow{hl}perpoverrightarrow{hj}).

Explanation:

- ## Step1: Definir variables
Sea \(x\) la medida del primer ángulo y \(y\) la medida del segundo ángulo. Sabemos que \(x + y=180^{\circ}\) (porque son suplementarios) y \(|x - y| = 35^{\circ}\). Supongamos \(x>y\), entonces \(x - y=35^{\circ}\), y \(x=y + 35^{\circ}\).
- ## Step2: Sustituir en la ecuación de suplementariedad
Sustituimos \(x=y + 35^{\circ}\) en \(x + y=180^{\circ}\). Obtenemos \((y + 35^{\circ})+y=180^{\circ}\).
Combinando términos, \(2y+35^{\circ}=180^{\circ}\).
Restando \(35^{\circ}\) de ambos lados: \(2y=180^{\circ}-35^{\circ}=145^{\circ}\).
Dividiendo entre 2: \(y=\frac{145^{\circ}}{2}=72.5^{\circ}\).
- ## Step3: Encontrar el valor de \(x\)
Sustituimos \(y = 72.5^{\circ}\) en \(x=y + 35^{\circ}\), entonces \(x=72.5^{\circ}+35^{\circ}=107.5^{\circ}\).
- # Answer:
Los ángulos miden \(107.5^{\circ}\) y \(72.5^{\circ}\).
2. **Ejercicio 3: El complemento de un ángulo es 76° menos que el ángulo**
- # Explanation:
- ## Step1: Definir variables
Sea \(x\) la medida del ángulo. Entonces su complemento es \(180^{\circ}-x\). Sabemos que \(180^{\circ}-x=x - 76^{\circ}\).
- ## Step2: Resolver la ecuación
Sumando \(x\) a ambos lados: \(180^{\circ}=2x - 76^{\circ}\).
Sumando \(76^{\circ}\) a ambos lados: \(180^{\circ}+76^{\circ}=2x\), es decir \(256^{\circ}=2x\).
Dividiendo entre 2: \(x = 128^{\circ}\).
El complemento es \(180^{\circ}-128^{\circ}=52^{\circ}\).
- # Answer:
El ángulo mide \(128^{\circ}\) y su complemento \(52^{\circ}\).
3. **Ejercicio 5: El complemento de un ángulo es tres veces el ángulo**
- # Explanation:
- ## Step1: Definir variables
Sea \(x\) la medida del ángulo. Entonces su complemento es \(180^{\circ}-x\). Sabemos que \(180^{\circ}-x = 3x\).
- ## Step2: Resolver la ecuación
Sumando \(x\) a ambos lados: \(180^{\circ}=4x\).
Dividiendo entre 4: \(x = 45^{\circ}\).
El complemento es \(180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\).
- # Answer:
El ángulo mide \(45^{\circ}\) y su complemento \(135^{\circ}\).
4. **Ejercicio 7: Dados \(m\angle ABD=(3r + 5)^{\circ}\) y \(m\angle DBC=(5r-27)^{\circ}\), siendo \(\angle ABC = 90^{\circ}\) (porque \(BA\perp BC\))**
- # Explanation:
- ## Step1: Usar la relación de ángulos
Sabemos que \(m\angle ABD+m\angle DBC=m\angle ABC\). Entonces \((3r + 5)^{\circ}+(5r-27)^{\circ}=90^{\circ}\).
- ## Step2: Combinar términos
Combinando términos de \(r\): \((3r+5r)+(5 - 27)^{\circ}=90^{\circ}\), es decir \(8r-22^{\circ}=90^{\circ}\).
Sumando \(22^{\circ}\) a ambos lados: \(8r=90^{\circ}+22^{\circ}=112^{\circ}\).
Dividiendo entre 8: \(r = 14\).
- ## Step3: Encontrar las medidas de los ángulos
\(m\angle ABD=(3\times14 + 5)^{\circ}=(42 + 5)^{\circ}=47^{\circ}\).
\(m\angle DBC=(5\times14-27)^{\circ}=(70 - 27)^{\circ}=43^{\circ}\).
- # Answer:
\(m\angle ABD = 47^{\circ}\) y \(m\angle DBC = 43^{\circ}\).
5. **Ejercicio 9: Si \(\overrightarrow{HL}\perp\overrightarrow{HJ}\), entonces \(m\angle 2+m\angle 3 = 90^{\circ}\)**
- # Explanation:
- ## Step1: Usar la relación de ángulos
Dado que \(m\angle 2=(a + 15)^{\circ}\) y \(m\angle 3=(a + 35)^{\circ}\), y \(m\angle 2+m\angle 3 = 90^{\circ}\), entonces \((a + 15)^{\circ}+(a + 35)^{\circ}=90^{\circ}\).
- ## Step2: Combinar términos
Combinando términos de \(a\): \((a+a)+(15 + 35)^{\circ}=90^{\circ}\), es decir \(2a+50^{\circ}=90^{\circ}\).
Restando \(50^{\circ}\) a ambos lados: \(2a=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}\).
Dividiendo entre 2: \(a = 20\).
- # Answer:
\(a = 20\).

Answer:

1. Ejercicio 1: Encontrar las medidas de dos ángulos suplementarios con una diferencia de 35°

• # Explanation:
• ## Step1: Definir variables

Sea \(x\) la medida del primer ángulo y \(y\) la medida del segundo ángulo. Sabemos que \(x + y=180^{\circ}\) (porque son suplementarios) y \(|x - y| = 35^{\circ}\). Supongamos \(x>y\), entonces \(x - y=35^{\circ}\), y \(x=y + 35^{\circ}\).

• ## Step2: Sustituir en la ecuación de suplementariedad

Sustituimos \(x=y + 35^{\circ}\) en \(x + y=180^{\circ}\). Obtenemos \((y + 35^{\circ})+y=180^{\circ}\).
Combinando términos, \(2y+35^{\circ}=180^{\circ}\).
Restando \(35^{\circ}\) de ambos lados: \(2y=180^{\circ}-35^{\circ}=145^{\circ}\).
Dividiendo entre 2: \(y=\frac{145^{\circ}}{2}=72.5^{\circ}\).

• ## Step3: Encontrar el valor de \(x\)

Sustituimos \(y = 72.5^{\circ}\) en \(x=y + 35^{\circ}\), entonces \(x=72.5^{\circ}+35^{\circ}=107.5^{\circ}\).

• # Answer:

Los ángulos miden \(107.5^{\circ}\) y \(72.5^{\circ}\).

1. Ejercicio 3: El complemento de un ángulo es 76° menos que el ángulo

• # Explanation:
• ## Step1: Definir variables

Sea \(x\) la medida del ángulo. Entonces su complemento es \(180^{\circ}-x\). Sabemos que \(180^{\circ}-x=x - 76^{\circ}\).

• ## Step2: Resolver la ecuación

Sumando \(x\) a ambos lados: \(180^{\circ}=2x - 76^{\circ}\).
Sumando \(76^{\circ}\) a ambos lados: \(180^{\circ}+76^{\circ}=2x\), es decir \(256^{\circ}=2x\).
Dividiendo entre 2: \(x = 128^{\circ}\).
El complemento es \(180^{\circ}-128^{\circ}=52^{\circ}\).

• # Answer:

El ángulo mide \(128^{\circ}\) y su complemento \(52^{\circ}\).

1. Ejercicio 5: El complemento de un ángulo es tres veces el ángulo

• # Explanation:
• ## Step1: Definir variables

Sea \(x\) la medida del ángulo. Entonces su complemento es \(180^{\circ}-x\). Sabemos que \(180^{\circ}-x = 3x\).

• ## Step2: Resolver la ecuación

Sumando \(x\) a ambos lados: \(180^{\circ}=4x\).
Dividiendo entre 4: \(x = 45^{\circ}\).
El complemento es \(180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\).

• # Answer:

El ángulo mide \(45^{\circ}\) y su complemento \(135^{\circ}\).

1. Ejercicio 7: Dados \(m\angle ABD=(3r + 5)^{\circ}\) y \(m\angle DBC=(5r-27)^{\circ}\), siendo \(\angle ABC = 90^{\circ}\) (porque \(BA\perp BC\))

• # Explanation:
• ## Step1: Usar la relación de ángulos

Sabemos que \(m\angle ABD+m\angle DBC=m\angle ABC\). Entonces \((3r + 5)^{\circ}+(5r-27)^{\circ}=90^{\circ}\).

• ## Step2: Combinar términos

Combinando términos de \(r\): \((3r+5r)+(5 - 27)^{\circ}=90^{\circ}\), es decir \(8r-22^{\circ}=90^{\circ}\).
Sumando \(22^{\circ}\) a ambos lados: \(8r=90^{\circ}+22^{\circ}=112^{\circ}\).
Dividiendo entre 8: \(r = 14\).

• ## Step3: Encontrar las medidas de los ángulos

\(m\angle ABD=(3\times14 + 5)^{\circ}=(42 + 5)^{\circ}=47^{\circ}\).
\(m\angle DBC=(5\times14-27)^{\circ}=(70 - 27)^{\circ}=43^{\circ}\).

• # Answer:

\(m\angle ABD = 47^{\circ}\) y \(m\angle DBC = 43^{\circ}\).

1. Ejercicio 9: Si \(\overrightarrow{HL}\perp\overrightarrow{HJ}\), entonces \(m\angle 2+m\angle 3 = 90^{\circ}\)

• # Explanation:
• ## Step1: Usar la relación de ángulos

Dado que \(m\angle 2=(a + 15)^{\circ}\) y \(m\angle 3=(a + 35)^{\circ}\), y \(m\angle 2+m\angle 3 = 90^{\circ}\), entonces \((a + 15)^{\circ}+(a + 35)^{\circ}=90^{\circ}\).

• ## Step2: Combinar términos

Combinando términos de \(a\): \((a+a)+(15 + 35)^{\circ}=90^{\circ}\), es decir \(2a+50^{\circ}=90^{\circ}\).
Restando \(50^{\circ}\) a ambos lados: \(2a=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}\).
Dividiendo entre 2: \(a = 20\).

• # Answer:

\(a = 20\).