Question

part 2: make it perpendicular!
step 1: plot the following points: a(-2,-1) b(5,-4) q(4,2)
step 2: find a point p so that line ab is perpendicular to line pq.
show that they are perpendicular by showing their slopes.

Explanation:

Step1: Calcular la pendiente de la línea AB

La fórmula de la pendiente $m$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Para los puntos $A(-2,-1)$ y $B(5,-4)$, tenemos $m_{AB}=\frac{-4-(-1)}{5 - (-2)}=\frac{-4 + 1}{5+2}=\frac{-3}{7}$.

Step2: Encontrar la pendiente de la línea PQ

Sabemos que si dos líneas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es - 1. Sea la pendiente de la línea PQ $m_{PQ}$. Entonces $m_{AB}\cdot m_{PQ}=-1$. Dado que $m_{AB}=-\frac{3}{7}$, entonces $m_{PQ}=\frac{7}{3}$.

Step3: Escribir la ecuación de la línea PQ en la forma punto - pendiente

La ecuación de la línea en la forma punto - pendiente es $y - y_1=m(x - x_1)$. Tenemos el punto $Q(4,2)$ y $m=\frac{7}{3}$. Entonces $y - 2=\frac{7}{3}(x - 4)$.

Step4: Suponer las coordenadas de P

Supongamos que $P=(x,y)$. La pendiente entre $P(x,y)$ y $Q(4,2)$ es $m_{PQ}=\frac{y - 2}{x - 4}=\frac{7}{3}$, entonces $3(y - 2)=7(x - 4)$, es decir $3y-6 = 7x-28$, o $3y=7x - 22$, $y=\frac{7x - 22}{3}$. Podemos elegir un valor para $x$, por ejemplo, si $x = 1$, entonces $y=\frac{7\times1 - 22}{3}=\frac{7 - 22}{3}=-5$. Así, $P=(1,-5)$.

Step5: Comprobar las pendientes

La pendiente de $AB$ es $m_{AB}=\frac{-4-(-1)}{5-(-2)}=-\frac{3}{7}$. La pendiente de $PQ$ con $P=(1,-5)$ y $Q=(4,2)$ es $m_{PQ}=\frac{2-(-5)}{4 - 1}=\frac{2 + 5}{3}=\frac{7}{3}$. Y $m_{AB}\cdot m_{PQ}=-\frac{3}{7}\times\frac{7}{3}=-1$, lo que demuestra que las líneas son perpendiculares.

Answer:

Un posible punto $P$ es $(1,-5)$