Question

problèmes
12 deux aéroports a et b sont distants de 6200 km et ils sont situés de telle sorte quun segment reliant forme un angle de 72° par rapport au nord. un vent, v, de 40 km/h souffle constamment de louest et influe sur la vitesse de tout avion volant entre les aéroports a et b. quelles doivent être la norme et lorientation de la vitesse de lavion pour quil se rende de laéroport a à laéroport b en 9 h ?

Explanation:

Step1: Calculer la vitesse moyenne requise

La distance entre les aéroports A et B est $d = 6200$ km et le temps disponible est $t=9$ h. La vitesse moyenne $v_{moyenne}$ requise pour parcourir cette distance en 9 h est donnée par la formule $v_{moyenne}=\frac{d}{t}$.
$v_{moyenne}=\frac{6200}{9}\approx 688.89$ km/h.

Step2: Considérer l'effet du vent

Le vent souffle à $v_{vent} = 40$ km/h vers l'ouest. On peut résoudre ce problème en utilisant la composition des vecteurs de vitesse. Soit $v_{avion}$ la vitesse de l'avion par rapport à l'air.
On peut utiliser la loi des cosinus dans le triangle des vitesses. Si on considère le triangle formé par la vitesse du vent, la vitesse de l'avion par rapport à l'air et la vitesse résultante de l'avion.
Toutefois, une approche plus simple est de considérer la vitesse dans la direction de la trajectoire directe entre A et B.
La vitesse du vent a un effet sur la vitesse de l'avion. Si on considère la vitesse de l'avion dans la direction de la ligne droite entre A et B, on doit prendre en compte l'effet du vent.
Soit la vitesse de l'avion par rapport à l'air $v_{avion}$.
La vitesse du vent est perpendiculaire à la direction de la ligne droite entre A et B dans un cas idéal de résolution vectorielle.
La vitesse de l'avion par rapport à l'air doit compenser l'effet du vent et permettre de parcourir la distance en 9 h.
La vitesse de l'avion par rapport à l'air dans la direction de la trajectoire est $v_{avion}$ tel que, en utilisant la composition vectorielle des vitesses.
La vitesse résultante $v_{resultante}$ de l'avion est la somme vectorielle de la vitesse de l'avion par rapport à l'air et de la vitesse du vent.
En utilisant la trigonométrie et la composition vectorielle des vitesses, on sait que la vitesse de l'avion par rapport à l'air $v_{avion}$ doit satisfaire les conditions pour la distance et le temps donnés.
La vitesse de l'avion par rapport à l'air dans la direction de la trajectoire directe entre A et B doit être suffisante pour compenser l'effet du vent et atteindre B en 9 h.
La vitesse de l'avion par rapport à l'air $v_{avion}$ doit être telle que, en considérant la vitesse du vent, la vitesse résultante permette de parcourir la distance $d = 6200$ km en $t = 9$ h.
On peut considérer le triangle des vitesses. Si on note $v_{1}$ la vitesse de l'avion par rapport à l'air, $v_{2}$ la vitesse du vent et $v_{3}$ la vitesse résultante de l'avion.
En utilisant la relation $v_{3}=\frac{d}{t}$, et en tenant compte de l'effet de $v_{2}$ sur $v_{3}$.
La vitesse de l'avion par rapport à l'air dans la direction de la trajectoire est $v_{avion}\approx688.89$ km/h (en ignorant l'effet du vent sur la direction pour le moment, car on peut le corriger en utilisant la composition vectorielle).
Pour trouver la vitesse de l'avion par rapport à l'air et son orientation, on peut utiliser la trigonométrie.
Soit $\theta$ l'angle d'orientation de l'avion par rapport à la ligne droite entre A et B.
La vitesse du vent $v_{vent}=40$ km/h et la vitesse résultante $v_{resultante}=\frac{6200}{9}$ km/h.
On sait que $\tan\theta=\frac{v_{vent}}{v_{parallel}}$ où $v_{parallel}$ est la composante de la vitesse de l'avion par rapport à l'air dans la direction de la ligne droite entre A et B.
Premièrement, la vitesse de l'avion par rapport à l'air dans la direction de la ligne droite entre A et B doit être suffisante pour parcourir la distance en 9 h. Donc $v_{parallel}\approx688.89$ km/h.
$\tan\theta=\frac{40}{688.89}\approx0.058$. $\theta=\arctan(0.058)\approx 3.3^{\circ}$.
La vitesse de l'avion par rapport à l'air $v_{avion}=\sqrt{v_{parallel}^{2}+v_{vent}^{2}}=\sqrt{( \frac{6200}{9})^{2}+40^{2}}=\sqrt{688.89^{2}+40^{2}}=\sqrt{474673.23 + 1600}=\sqrt{476273.23}\approx690.12$ km/h.

L'orientation de l'avion doit être tournée d'environ $3.3^{\circ}$ vers le nord - est (pour compenser le vent vers l'ouest).

La norme de la vitesse de l'avion par rapport à l'air est d'environ $690$ km/h et l'orientation doit être d'environ $3.3^{\circ}$ à l'est du nord.

Answer:

La norme de la vitesse de l'avion par rapport à l'air est d'environ $690$ km/h et l'orientation de l'avion doit être d'environ $3.3^{\circ}$ à l'est du nord.