Question

problem d. 1 locate the following coordinate points on the coordinate - plane: a(-4, -3), b(3, 2), c(2, -4), d(-4, -3). 2 what is the midpoint between: ab = bc = cd = da = 3 find the distance between these line segments: ab = bc = cd = da = 4 find the perimeter of this shape. express the answer in both radical form (most simplified) and decimal form (rounded to the nearest hundredth). 5 what shape is this? explain your reasoning.

Explanation:

Step1: Fórmula de distancia entre dos puntos

La fórmula de la distancia $d$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$.

Step2: Calcular $\overline{AB}$

Dados $A(-4,-3)$ y $B(3,2)$, entonces $x_1=-4,y_1 = - 3,x_2=3,y_2 = 2$.
$d_{AB}=\sqrt{(3-(-4))^2+(2 - (-3))^2}=\sqrt{(3 + 4)^2+(2 + 3)^2}=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{49 + 25}=\sqrt{74}$.

Step3: Calcular $\overline{BC}$

Dados $B(3,2)$ y $C(2,-4)$, entonces $x_1=3,y_1 = 2,x_2=2,y_2=-4$.
$d_{BC}=\sqrt{(2 - 3)^2+(-4 - 2)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-6)^2}=\sqrt{1 + 36}=\sqrt{37}$.

Step4: Calcular $\overline{CD}$

Dados $C(2,-4)$ y $D(4,-3)$, entonces $x_1=2,y_1=-4,x_2=4,y_2=-3$.
$d_{CD}=\sqrt{(4 - 2)^2+(-3-(-4))^2}=\sqrt{2^2+( - 3 + 4)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$.

Step5: Calcular $\overline{DA}$

Dados $D(4,-3)$ y $A(-4,-3)$, entonces $x_1=4,y_1=-3,x_2=-4,y_2=-3$.
$d_{DA}=\sqrt{(-4 - 4)^2+(-3-(-3))^2}=\sqrt{(-8)^2+0^2}=8$.

Step6: Calcular el perímetro

El perímetro $P$ es $P=\sqrt{74}+\sqrt{37}+\sqrt{5}+8$.
En forma decimal, $\sqrt{74}\approx8.60$, $\sqrt{37}\approx6.08$, $\sqrt{5}\approx2.24$.
$P\approx8.60+6.08+2.24 + 8=24.92$.

Step7: Fórmula del punto medio

La fórmula del punto medio $M$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $M=(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$.

Step8: Encontrar el punto medio de $\overline{AB}$

$M_{AB}=(\frac{-4 + 3}{2},\frac{-3+2}{2})=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.

Step9: Encontrar el punto medio de $\overline{BC}$

$M_{BC}=(\frac{3 + 2}{2},\frac{2-4}{2})=(\frac{5}{2},-1)$.

Step10: Encontrar el punto medio de $\overline{CD}$

$M_{CD}=(\frac{2 + 4}{2},\frac{-4-3}{2})=(3,-\frac{7}{2})$.

Step11: Encontrar el punto medio de $\overline{DA}$

$M_{DA}=(\frac{4-4}{2},\frac{-3-3}{2})=(0,-3)$.

Step12: Determinar la forma

Calculamos las pendientes de los lados.
La pendiente $m$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Pendiente de $\overline{AB}$: $m_{AB}=\frac{2-(-3)}{3-(-4)}=\frac{5}{7}$.
Pendiente de $\overline{BC}$: $m_{BC}=\frac{-4 - 2}{2 - 3}=6$.
Pendiente de $\overline{CD}$: $m_{CD}=\frac{-3-(-4)}{4 - 2}=\frac{1}{2}$.
Pendiente de $\overline{DA}$: $m_{DA}=\frac{-3-(-3)}{-4 - 4}=0$.
No hay lados paralelos ni perpendiculares, entonces es un cuadrilátero irregular.

Answer:

$\overline{AB}=\sqrt{74}$
$\overline{BC}=\sqrt{37}$
$\overline{CD}=\sqrt{5}$
$\overline{DA}=8$
Perímetro (forma radical): $\sqrt{74}+\sqrt{37}+\sqrt{5}+8$
Perímetro (forma decimal): $24.92$
Punto medio de $\overline{AB}$: $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
Punto medio de $\overline{BC}$: $(\frac{5}{2},-1)$
Punto medio de $\overline{CD}$: $(3,-\frac{7}{2})$
Punto medio de $\overline{DA}$: $(0,-3)$
Forma: Cuadrilátero irregular