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Question
select the correct answer. use the given diagram to find the missing length in the triangle. o 22.5 o 14.5 o 24 o 26
Explicación:
Paso 1: Aplicar la ley de senos
La ley de senos establece que $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ en un triángulo. En $\triangle ABC$, sabemos que $\angle ABD = \angle DBC=40^{\circ}$, $AB = 32$, $BC = 58$ y $AD = 8$. Sea $DC=x$.
En $\triangle ABD$ y $\triangle DBC$, aplicando la ley de senos en $\triangle ABC$: $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$. Primero, $\angle ABC=80^{\circ}$.
En $\triangle ABD$, usando la ley de senos $\frac{AD}{\sin\angle ABD}=\frac{BD}{\sin A}$. En $\triangle DBC$, $\frac{DC}{\sin\angle DBC}=\frac{BD}{\sin C}$.
Como $\angle ABD=\angle DBC = 40^{\circ}$, entonces $\frac{AD}{\sin40^{\circ}}=\frac{BD}{\sin A}$ y $\frac{x}{\sin40^{\circ}}=\frac{BD}{\sin C}$.
También, en $\triangle ABC$, $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$.
Pero podemos aplicar la ley de senos de otra manera. Considerando $\triangle ABC$ con $\angle ABC = 80^{\circ}$, $AB = 32$ y $BC = 58$.
$\frac{AC}{\sin80^{\circ}}=\frac{32}{\sin C}=\frac{58}{\sin A}$.
Ahora, en $\triangle ABD$ y $\triangle DBC$, debido a la bisectriz del ángulo $\angle B$:
Usando la proporción de segmentos formados por la bisectriz de un ángulo en un triángulo, que dice que $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$.
Paso 2: Calcular el valor de $x$
Sustituimos los valores conocidos en $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$. Tenemos $AD = 8$, $AB = 32$ y $BC = 58$.
$\frac{8}{x}=\frac{32}{58}$.
Cruz - multiplicando obtenemos $32x=8\times58$.
$x=\frac{8\times58}{32}=\frac{58}{4}=14.5$.
Respuesta:
$14.5$
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Explicación:
Paso 1: Aplicar la ley de senos
La ley de senos establece que $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ en un triángulo. En $\triangle ABC$, sabemos que $\angle ABD = \angle DBC=40^{\circ}$, $AB = 32$, $BC = 58$ y $AD = 8$. Sea $DC=x$.
En $\triangle ABD$ y $\triangle DBC$, aplicando la ley de senos en $\triangle ABC$: $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$. Primero, $\angle ABC=80^{\circ}$.
En $\triangle ABD$, usando la ley de senos $\frac{AD}{\sin\angle ABD}=\frac{BD}{\sin A}$. En $\triangle DBC$, $\frac{DC}{\sin\angle DBC}=\frac{BD}{\sin C}$.
Como $\angle ABD=\angle DBC = 40^{\circ}$, entonces $\frac{AD}{\sin40^{\circ}}=\frac{BD}{\sin A}$ y $\frac{x}{\sin40^{\circ}}=\frac{BD}{\sin C}$.
También, en $\triangle ABC$, $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$.
Pero podemos aplicar la ley de senos de otra manera. Considerando $\triangle ABC$ con $\angle ABC = 80^{\circ}$, $AB = 32$ y $BC = 58$.
$\frac{AC}{\sin80^{\circ}}=\frac{32}{\sin C}=\frac{58}{\sin A}$.
Ahora, en $\triangle ABD$ y $\triangle DBC$, debido a la bisectriz del ángulo $\angle B$:
Usando la proporción de segmentos formados por la bisectriz de un ángulo en un triángulo, que dice que $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$.
Paso 2: Calcular el valor de $x$
Sustituimos los valores conocidos en $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$. Tenemos $AD = 8$, $AB = 32$ y $BC = 58$.
$\frac{8}{x}=\frac{32}{58}$.
Cruz - multiplicando obtenemos $32x=8\times58$.
$x=\frac{8\times58}{32}=\frac{58}{4}=14.5$.
Respuesta:
$14.5$