Question

7 select the equation for a graph that is the set of all points in the plane that are equidistant from the point f(0, -8) and line y = 8
options:
$y = \frac{1}{8}x^2$
$y = -\frac{1}{8}x^2$
$y = -\frac{1}{32}x^2$
$y = \frac{1}{32}x^2$

Explanation:

Step1: Definir punto general

Sea $(x,y)$ un punto cualquiera del gráfico.

Step2: Calcular distancia al foco

La distancia desde $(x,y)$ a $F(0,-8)$ se calcula con la fórmula de distancia entre dos puntos:
$\sqrt{(x-0)^2 + (y - (-8))^2} = \sqrt{x^2 + (y+8)^2}$

Step3: Calcular distancia a la recta

La distancia desde $(x,y)$ a la recta $y=8$ es $|y - 8|$ (distancia punto-recta horizontal).

Step4: Igualar distancias (definición)

Por la condición del problema, las distancias son iguales:
$\sqrt{x^2 + (y+8)^2} = |y - 8|$

Step5: Elevar al cuadrado ambos lados

Eliminar la raíz y el valor absoluto:
$x^2 + (y+8)^2 = (y-8)^2$

Step6: Expandir los binomios

Desarrollar los cuadrados de los binomios:
$x^2 + y^2 + 16y + 64 = y^2 - 16y + 64$

Step7: Simplificar la ecuación

Cancelar términos comunes y reorganizar:
$x^2 + 16y = -16y$
$x^2 = -32y$

Step8: Despejar $y$

Expresar la ecuación en forma explícita:
$y = -\frac{1}{32}x^2$

Answer:

B. $y = -\frac{1}{32}x^2$