Question

15 shape, vertex, range
f(x) = -sqrt{x + 7}
square root, (7,0) range: y≥0
absolute value, (-7,0) range: y≤0
cube root, (-7,0) range: y≤0
square root, (-7,0) range: y≤0

Explanation:

Step1: Analizar la función \( f(x) = -\sqrt{x + 7} \)

La función tiene una raíz cuadrada, ya que la expresión es \( \sqrt{x + 7} \) (la raíz cúbica se escribe como \( \sqrt[3]{...} \) y el valor absoluto como \( |...| \), así que se descartan las opciones de valor absoluto y raíz cúbica).

Step2: Encontrar el vértice (punto de inicio de la raíz cuadrada)

Para la función de raíz cuadrada \( \sqrt{x - h} + k \), el vértice es \( (h, k) \). Aquí, la función es \( -\sqrt{x + 7} = -\sqrt{x - (-7)} + 0 \), así que el vértice es \( (-7, 0) \).

Step3: Determinar el rango

La raíz cuadrada \( \sqrt{x + 7} \) tiene rango \( y \geq 0 \) (ya que la raíz cuadrada de un número no negativo es no negativa). Al multiplicarla por \( -1 \), se invierte la desigualdad: \( -\sqrt{x + 7} \leq 0 \), así que el rango es \( y \leq 0 \) (o \( \mathbb{R}^- \cup \{0\} \), que se puede escribir como \( y \leq 0 \)).

Step4: Evaluar las opciones

• Opción 1: Vértice \( (7,0) \) está mal (debería ser \( (-7,0) \)) y rango \( y \geq 0 \) está mal (debería ser \( y \leq 0 \)).
• Opción 2: No es valor absoluto, así que está mal.
• Opción 3: No es raíz cúbica, así que está mal.
• Opción 4: Tipo de función: raíz cuadrada, vértice \( (-7,0) \), rango \( y \leq 0 \). Esto coincide con nuestro análisis.

Answer:

D. Square root, \((-7,0)\) Range: \( y \leq 0 \) (o la opción que dice "Square root, (-7,0) Range: \( y \leq 0 \)" según la presentación de las opciones; la última opción en la lista dada que es "Square root, (-7,0) Range: \( y \leq 0 \)").