Question

examine los datos dados para un tallo de maíz.
día, ( x ): 9, 12, 22, 40
altura, ( y ) (en): 5, 17, 45, 60
utilice la regresión logarítmica para encontrar una ecuación de la forma ( y = a + b ln(x) ) para modelar los datos.
( a = )
( b = )
usando la calculadora gráfica, calcule al día más cercano cuánto tiempo le tomará al maíz llegar 6 pies de alto:
días

Explanation:

Step1: Transformar datos a lineales

Definimos $z = \ln(x)$, calculamos los valores:
$z_1 = \ln(9) \approx 2.197$, $z_2 = \ln(12) \approx 2.485$, $z_3 = \ln(22) \approx 3.091$, $z_4 = \ln(40) \approx 3.689$
Ahora tenemos pares $(z,y)$: $(2.197,5)$, $(2.485,17)$, $(3.091,45)$, $(3.689,60)$

Step2: Calcular regresión lineal $y=a+bz$

Usar fórmulas de regresión lineal:
Primero calculamos promedios:
$\bar{z} = \frac{2.197+2.485+3.091+3.689}{4} \approx 2.866$
$\bar{y} = \frac{5+17+45+60}{4} = 31.75$

Calculamos $b$:
$$b = \frac{\sum_{i=1}^4 (z_i-\bar{z})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^4 (z_i-\bar{z})^2}$$
Numerador:
$(2.197-2.866)(5-31.75)+(2.485-2.866)(17-31.75)+(3.091-2.866)(45-31.75)+(3.689-2.866)(60-31.75)$
$\approx (-0.669)(-26.75)+(-0.381)(-14.75)+(0.225)(13.25)+(0.823)(28.25)$
$\approx 17.99+5.62+2.98+23.25 = 49.84$

Denominador:
$(2.197-2.866)^2+(2.485-2.866)^2+(3.091-2.866)^2+(3.689-2.866)^2$
$\approx 0.447+0.145+0.051+0.677 = 1.32$
$b \approx \frac{49.84}{1.32} \approx 37.76$

Step3: Calcular $a$

Usar $\bar{y} = a + b\bar{z}$:
$a = \bar{y} - b\bar{z} \approx 31.75 - 37.76(2.866) \approx 31.75 - 108.22 = -76.47$

Step4: Encontrar día para $y=72$

Nota: 6 pies = 72 pulgadas (ya que las alturas están en pulgadas). Sustituimos en $y = a + b\ln(x)$:
$72 = -76.47 + 37.76\ln(x)$
Despejamos $\ln(x)$:
$37.76\ln(x) = 72 + 76.47 = 148.47$
$\ln(x) = \frac{148.47}{37.76} \approx 3.932$
Aplicamos exponencial natural:
$x = e^{3.932} \approx 51.0$

Answer:

$a \approx -76.5$
$b \approx 37.8$
Día más cercano: 51 días