Question

in exercises 23 - 30, graph the function. identify the x - intercepts and the points where the local maximums and local minimums occur. determine the intervals for which the function is increasing or decreasing. (see example 3.) 23. $g(x)=2x^{3}+8x^{2}-3$ 24. $g(x)=-x^{4}+3x$ 25. $h(x)=x^{4}-3x^{2}+x$ 26. $f(x)=x^{5}-4x^{3}+x^{2}+2$

Explanation:

Step1: Encontrar las derivadas

Para la función $g(x)=2x^{3}+8x^{2}-3$, la derivada $g'(x)=6x^{2}+16x = 2x(3x + 8)$.

Step2: Encontrar los puntos críticos

Igualamos $g'(x)=0$. Entonces $2x(3x + 8)=0$. Esto da $x = 0$ y $x=-\frac{8}{3}$ como puntos críticos.

Step3: Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Tomamos intervalos $(-\infty,-\frac{8}{3})$, $(-\frac{8}{3},0)$ y $(0,\infty)$.
Para $x\in(-\infty,-\frac{8}{3})$, tomamos $x=-3$, entonces $g'(-3)=6\times(-3)^{2}+16\times(-3)=54 - 48 = 6>0$, así que la función es creciente en $(-\infty,-\frac{8}{3})$.
Para $x\in(-\frac{8}{3},0)$, tomamos $x = - 1$, entonces $g'(-1)=6\times(-1)^{2}+16\times(-1)=6 - 16=-10<0$, así que la función es decreciente en $(-\frac{8}{3},0)$.
Para $x\in(0,\infty)$, tomamos $x = 1$, entonces $g'(1)=6\times1^{2}+16\times1=6 + 16=22>0$, así que la función es creciente en $(0,\infty)$.

Step4: Encontrar máximos y mínimos locales

Como la función cambia de creciente a decreciente en $x =-\frac{8}{3}$, entonces $g(-\frac{8}{3})=2\times(-\frac{8}{3})^{3}+8\times(-\frac{8}{3})^{2}-3=2\times(-\frac{512}{27})+8\times\frac{64}{9}-3=-\frac{1024}{27}+\frac{512}{9}-3=-\frac{1024}{27}+\frac{1536}{27}-\frac{81}{27}=\frac{-1024 + 1536-81}{27}=\frac{431}{27}$ es un máximo local.
Como la función cambia de decreciente a creciente en $x = 0$, entonces $g(0)=-3$ es un mínimo local.

Step5: Encontrar los interceptos en x

Igualamos $g(x)=0$, es decir $2x^{3}+8x^{2}-3 = 0$. Esta ecuación no se puede resolver fácilmente por factorización, pero podemos usar métodos numéricos como la regla de la secante o la iteración de Newton - Raphson.

Answer:

• Intervalos de crecimiento: $(-\infty,-\frac{8}{3})\cup(0,\infty)$
• Intervalos de decrecimiento: $(-\frac{8}{3},0)$
• Máximo local en $x =-\frac{8}{3}$, $y=\frac{431}{27}$
• Mínimo local en $x = 0$, $y=-3$
• Interceptos en x: se deben resolver numéricamente $2x^{3}+8x^{2}-3 = 0$