Question

find the orthocenter of triangle abc
c (6,5)
b (10,1)
a (4,1)
the orthocenter is located at the point (, )

Explanation:

Step1: Analizar la línea AB

Los puntos \( A(4,1) \) y \( B(10,1) \) tienen la misma coordenada \( y \), por lo que la línea \( AB \) es horizontal (\( y = 1 \)). La altura desde \( C \) a \( AB \) es vertical (ya que la perpendicular a una línea horizontal es vertical). La coordenada \( x \) de \( C \) es 6, así que la ecuación de la altura desde \( C \) a \( AB \) es \( x = 6 \).

Step2: Encontrar la pendiente de BC

Los puntos \( B(10,1) \) y \( C(6,5) \). La pendiente \( m_{BC} = \frac{5 - 1}{6 - 10} = \frac{4}{-4} = -1 \). La pendiente de la altura desde \( A \) a \( BC \) es el negativo recíproco, es decir, \( 1 \) (ya que la pendiente de una línea perpendicular a una con pendiente \( m \) es \( -\frac{1}{m} \), así que para \( m = -1 \), la perpendicular es \( 1 \)).

Step3: Ecuación de la altura desde A

Usando el punto \( A(4,1) \) y la pendiente \( 1 \), la ecuación es \( y - 1 = 1(x - 4) \), que se simplifica a \( y = x - 3 \).

Step4: Encontrar la intersección de las alturas

Tenemos la ecuación de la altura desde \( C \): \( x = 6 \), y la ecuación de la altura desde \( A \): \( y = x - 3 \). Sustituir \( x = 6 \) en \( y = x - 3 \) da \( y = 6 - 3 = 3 \).

Answer:

(6, 3)