Question

11 un carré appartient à la famille des rectangles. il possède donc des diagonales isométriques. puisque ses côtés ont tous la même mesure, un carré est aussi un losange. il possède donc des diagonales perpendiculaires. démonstre que les diagonales du carré ci - contre sont isométriques et perpendiculaires.

Explanation:

Step1: Calculer la longueur des diagonales

Soient les points $A(0,7)$, $B(- 5,3)$, $C(-1,-2)$ et $D(4,2)$. Les diagonales sont $AC$ et $BD$.
La formule de la distance entre deux points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ est $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$.
Pour la diagonale $AC$ avec $A(0,7)$ et $C(-1,-2)$ :
$d_{AC}=\sqrt{(-1 - 0)^2+(-2 - 7)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-9)^2}=\sqrt{1 + 81}=\sqrt{82}$.
Pour la diagonale $BD$ avec $B(-5,3)$ et $D(4,2)$ :
$d_{BD}=\sqrt{(4+5)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{(9)^2+(-1)^2}=\sqrt{81 + 1}=\sqrt{82}$.
Donc, les diagonales sont isométriques.

Step2: Vérifier la perpendicularité des diagonales

La pente $m$ d'une droite passant par deux points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ est donnée par $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
La pente de la diagonale $AC$, $m_{AC}=\frac{-2 - 7}{-1 - 0}=\frac{-9}{-1}=9$.
La pente de la diagonale $BD$, $m_{BD}=\frac{2 - 3}{4 + 5}=\frac{-1}{9}$.
Le produit des pentes de deux droites perpendiculaires est $- 1$. Ici, $m_{AC}\times m_{BD}=9\times(-\frac{1}{9})=-1$. Donc, les diagonales sont perpendiculaires.

Answer:

On a démontré que les diagonales du carré sont isométriques (de longueur $\sqrt{82}$) et perpendiculaires (produit des pentes égal à - 1).