Question

1. identify the number of real and non - real zeros for the polynomial $p(x)=\frac{1}{5}(x^{3}-x^{2}-x - 15)$. complete each blank in the statement below by circling the correct response.

$p(x)$ has $\frac{no or one or two or three}{(circle one)}$ real zero(s)
and $\frac{no or one or two or three}{(circle one)}$ non - real zero(s).
/12

1. factor completely: $g(x)=3x^{3}-192$

$g(x)=\frac{}{(answer)}$
/10

Explanation:

Paso 1: Analizar el polinomio $p(x)=\frac{1}{5}(x^{3}-x^{2}-x - 15)$

El grado del polinomio es 3. Según el Teorema Fundamental del Álgebra, un polinomio de grado $n$ tiene $n$ raíces (contando multiplicidades) en el conjunto de los números complejos.

Paso 2: Aplicar el Teorema de los Ceros de un Polinomio

Intentamos encontrar raíces racionales utilizando el Teorema de los Ceros Racionales. Los posibles ceros racionales son factores del término independiente (15) divididos por factores del coeficiente principal (1). Los posibles valores son $\pm1,\pm3,\pm 5,\pm15$. Probando $x = 3$:
$p(3)=\frac{1}{5}(3^{3}-3^{2}-3 - 15)=\frac{1}{5}(27 - 9-3 - 15)=\frac{1}{5}(27-(9 + 3+15))=\frac{1}{5}(27 - 27)=0$.
Entonces, $(x - 3)$ es un factor de $x^{3}-x^{2}-x - 15$. Dividiendo $x^{3}-x^{2}-x - 15$ entre $(x - 3)$ obtenemos $x^{2}+2x + 5$.

Paso 3: Encontrar los ceros de $x^{2}+2x + 5$

Utilizamos la fórmula cuadrática $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ para el polinomio $ax^{2}+bx + c$. Aquí, $a = 1$, $b = 2$ y $c = 5$.
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times5}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 - 20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{- 16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$.
El polinomio $p(x)$ tiene una raíz real ($x = 3$) y dos raíces no - reales ($x=-1 + 2i$ y $x=-1 - 2i$).

Paso 4: Factorizar $g(x)=3x^{3}-192$

Extraemos el factor común 3: $g(x)=3(x^{3}-64)$.
Sabemos que $a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$, donde $a=x$ y $b = 4$ (ya que $4^{3}=64$).
Entonces $g(x)=3(x - 4)(x^{2}+4x + 16)$.

Respuesta:

1. $P(x)$ tiene one real zero(s) y two non - real zero(s).
2. $g(x)=3(x - 4)(x^{2}+4x + 16)$

Answer:

Paso 1: Analizar el polinomio $p(x)=\frac{1}{5}(x^{3}-x^{2}-x - 15)$

El grado del polinomio es 3. Según el Teorema Fundamental del Álgebra, un polinomio de grado $n$ tiene $n$ raíces (contando multiplicidades) en el conjunto de los números complejos.

Paso 2: Aplicar el Teorema de los Ceros de un Polinomio

Intentamos encontrar raíces racionales utilizando el Teorema de los Ceros Racionales. Los posibles ceros racionales son factores del término independiente (15) divididos por factores del coeficiente principal (1). Los posibles valores son $\pm1,\pm3,\pm 5,\pm15$. Probando $x = 3$:
$p(3)=\frac{1}{5}(3^{3}-3^{2}-3 - 15)=\frac{1}{5}(27 - 9-3 - 15)=\frac{1}{5}(27-(9 + 3+15))=\frac{1}{5}(27 - 27)=0$.
Entonces, $(x - 3)$ es un factor de $x^{3}-x^{2}-x - 15$. Dividiendo $x^{3}-x^{2}-x - 15$ entre $(x - 3)$ obtenemos $x^{2}+2x + 5$.

Paso 3: Encontrar los ceros de $x^{2}+2x + 5$

Utilizamos la fórmula cuadrática $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ para el polinomio $ax^{2}+bx + c$. Aquí, $a = 1$, $b = 2$ y $c = 5$.
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times5}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 - 20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{- 16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$.
El polinomio $p(x)$ tiene una raíz real ($x = 3$) y dos raíces no - reales ($x=-1 + 2i$ y $x=-1 - 2i$).

Paso 4: Factorizar $g(x)=3x^{3}-192$

Extraemos el factor común 3: $g(x)=3(x^{3}-64)$.
Sabemos que $a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$, donde $a=x$ y $b = 4$ (ya que $4^{3}=64$).
Entonces $g(x)=3(x - 4)(x^{2}+4x + 16)$.

Respuesta:

1. $P(x)$ tiene one real zero(s) y two non - real zero(s).
2. $g(x)=3(x - 4)(x^{2}+4x + 16)$