Question

1. generalize a graphic designer wants to know the number of regions that are formed when circles overlap in a particular way. can she find a rule that describes how the number of regions increases when another circle is added to the design? how many regions would a design with 6 circles create?

Explanation:

Step1: Analizar la diferencia entre los términos

Calculamos las diferencias entre el número de regiones consecutivas:
$3 - 1=2$, $7 - 3 = 4$, $13 - 7=6$, $21 - 13 = 8$. Las diferencias son $2,4,6,8$, que es una progresión aritmética con diferencia común de $2$.

Step2: Encontrar la fórmula general

Sea $n$ el número de círculos. La fórmula para el número de regiones $R(n)$ se puede encontrar de la siguiente manera. Sabemos que:
$R(1)=1$.
$R(2)=R(1)+2$.
$R(3)=R(2)+4$.
$R(4)=R(3)+6$.
$R(5)=R(4)+8$.
En general, $R(n)=R(n - 1)+2(n - 1)$.
Desarrollando la fórmula:
\[

$$\begin{align*} R(n)&=1+2 + 4+\cdots+2(n - 1)\\ &=1+2\sum_{k = 1}^{n - 1}k \end{align*}$$

\]
Usando la fórmula $\sum_{k=1}^{m}k=\frac{m(m + 1)}{2}$, con $m=n - 1$, tenemos:
\[

$$\begin{align*} R(n)&=1+2\times\frac{(n - 1)n}{2}\\ &=1+(n - 1)n\\ &=n^{2}-n + 1 \end{align*}$$

\]

Step3: Calcular el número de regiones para $n = 6$

Sustituimos $n = 6$ en la fórmula $R(n)=n^{2}-n + 1$.
$R(6)=6^{2}-6 + 1=36-6 + 1=31$.

Answer:

La regla es $R(n)=n^{2}-n + 1$, y el número de regiones para $6$ círculos es $31$.