Question

4、a bracket is shown in the figure, the cross - section area of the steel bar ab is a₁ = 6cm²; the cross - section area of the wooden bar bc is a₂ = 300cm², knowing the allowable stress of steel is σ = 140mpa, the allowable tensile stress of wood is σₜ = 8mpa, and the allowable compressive stress of wood is σₑ = 4mpa. try determine the allowable load p of the bracket.

Explanation:

Step1: Équilibre des forces en x et y

$\sum F_x = 0$ : $N_1 - N_2\cos\alpha=0$ ; $\sum F_y = 0$ : $N_2\sin\alpha - P = 0$. De la figure, $\tan\alpha=\frac{2a}{a}=2$, $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$. On obtient $N_2=\frac{\sqrt{5}}{2}P$ et $N_1=\frac{1}{2}P$.

Step2: Calcul des contraintes pour l'acier

La contrainte dans l'acier est $\sigma_1=\frac{N_1}{A_1}$. Avec $\sigma_1\leq[\sigma]$, $\frac{N_1}{A_1}\leq140\times10^{6}\ Pa$. En remplaçant $N_1=\frac{1}{2}P$ et $A_1 = 6\times10^{- 4}\ m^{2}$, on a $\frac{\frac{1}{2}P}{6\times10^{-4}}\leq140\times10^{6}$, $P\leq168000\ N$.

Step3: Calcul des contraintes pour le bois en traction

La contrainte dans le bois en traction est $\sigma_{t}=\frac{N_2\sin\alpha}{A_2}$. Avec $\sigma_{t}\leq[\sigma_{t}]$, $\frac{N_2\sin\alpha}{A_2}\leq8\times10^{6}\ Pa$. En remplaçant $N_2=\frac{\sqrt{5}}{2}P$ et $\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$, $A_2 = 300\times10^{-4}\ m^{2}$, on a $\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}P\times\frac{2}{\sqrt{5}}}{300\times10^{-4}}\leq8\times10^{6}$, $P\leq240000\ N$.

Step4: Calcul des contraintes pour le bois en compression

La contrainte dans le bois en compression est $\sigma_{c}=\frac{N_2\cos\alpha}{A_2}$. Avec $\sigma_{c}\leq[\sigma_{c}]$, $\frac{N_2\cos\alpha}{A_2}\leq4\times10^{6}\ Pa$. En remplaçant $N_2=\frac{\sqrt{5}}{2}P$ et $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$, $A_2 = 300\times10^{-4}\ m^{2}$, on a $\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}P\times\frac{1}{\sqrt{5}}}{300\times10^{-4}}\leq4\times10^{6}$, $P\leq240000\ N$.

Answer:

$P = 168000\ N$