Question

calculate the following information for each semester. use the symbols in the box to compare the data. symbol word box > (greater than) < (less than) = (equal to) chris looked at his test scores for the first and second semester of his algebra class. semester 1: 78, 78, 88, 91, 94 semester 2: 91, 96, 80, 77, 88, 85, 91 semester 1 symbol semester 2 mean median mode q1 q3 maximum minimum range interquartile range standard deviation create a box plot for each semester below. semester 1 semester 2

Answer:

Explicación:

Paso 1: Calcular la media para el primer semestre

La media se calcula sumando todos los valores y dividiendo entre el número de valores. Para el primer semestre, los valores son 78, 78, 88, 91, 94. La suma es \(78 + 78+88 + 91+94=429\), y el número de valores \(n = 5\). Entonces la media \(\bar{x}_1=\frac{429}{5}=85.8\).

Paso 2: Calcular la media para el segundo semestre

Para el segundo semestre, los valores son 91, 96, 80, 77, 88, 85, 91. La suma es \(91+96 + 80+77+88+85+91 = 608\), y el número de valores \(n = 7\). Entonces la media \(\bar{x}_2=\frac{608}{7}\approx86.86\).

Paso 3: Comparar las medias

Como \(85.8<86.86\), el símbolo es \(<\).

Paso 4: Calcular la mediana para el primer semestre

Ordenamos los datos: 78, 78, 88, 91, 94. El número de datos \(n = 5\) (impar), entonces la mediana es el valor del centro, que es 88.

Paso 5: Calcular la mediana para el segundo semestre

Ordenamos los datos: 77, 80, 85, 88, 91, 91, 96. El número de datos \(n = 7\) (impar), entonces la mediana es el valor del centro, que es 88.

Paso 6: Comparar las medianas

Como 88 = 88, el símbolo es \(=\).

Paso 7: Calcular la moda para el primer semestre

La moda es el valor que aparece más veces. En el primer semestre, 78 aparece dos veces, y los demás valores una vez, entonces la moda es 78.

Paso 8: Calcular la moda para el segundo semestre

En el segundo semestre, 91 aparece dos veces, y los demás valores una vez, entonces la moda es 91.

Paso 9: Comparar las modas

Como \(78<91\), el símbolo es \(<\).

Paso 10: Calcular el primer cuartil \(Q_1\) para el primer semestre

Los datos ordenados son 78, 78, 88, 91, 94. \(n = 5\), entonces \(Q_1\) es el valor en la posición \(\frac{n + 1}{4}=\frac{5+1}{4}=1.5\). Interpolando entre el primer y segundo valor, \(Q_1 = 78\).

Paso 11: Calcular el primer cuartil \(Q_1\) para el segundo semestre

Los datos ordenados son 77, 80, 85, 88, 91, 91, 96. \(n = 7\), entonces \(Q_1\) es el valor en la posición \(\frac{n + 1}{4}=\frac{7+1}{4}=2\), que es 80.

Paso 12: Comparar los primeros cuartiles

Como \(78<80\), el símbolo es \(<\).

Paso 13: Calcular el tercer cuartil \(Q_3\) para el primer semestre

Para \(n = 5\), \(Q_3\) está en la posición \(3\times\frac{n + 1}{4}=3\times\frac{5+1}{4}=4.5\). Interpolando entre el cuarto y quinto valor, \(Q_3=\frac{91 + 94}{2}=92.5\).

Paso 14: Calcular el tercer cuartil \(Q_3\) para el segundo semestre

Para \(n = 7\), \(Q_3\) está en la posición \(3\times\frac{n+1}{4}=3\times\frac{7 + 1}{4}=6\), que es 91.

Paso 15: Comparar los terceros cuartiles

Como \(92.5>91\), el símbolo es \(>\).

Paso 16: Calcular el máximo para el primer semestre

El máximo en el primer semestre es 94.

Paso 17: Calcular el máximo para el segundo semestre

El máximo en el segundo semestre es 96.

Paso 18: Comparar los máximos

Como \(94<96\), el símbolo es \(<\).

Paso 19: Calcular el mínimo para el primer semestre

El mínimo en el primer semestre es 78.

Paso 20: Calcular el mínimo para el segundo semestre

El mínimo en el segundo semestre es 77.

Paso 21: Comparar los mínimos

Como \(78>77\), el símbolo es \(>\).

Paso 22: Calcular el rango para el primer semestre

El rango se calcula como \(R_1=\text{máximo}-\text{mínimo}\). Entonces \(R_1=94 - 78=16\).

Paso 23: Calcular el rango para el segundo semestre

El rango \(R_2=96 - 77=19\).

Paso 24: Comparar los rangos

Como \(16<19\), el símbolo es \(<\).

Paso 25: Calcular el rango inter - cuartil para el primer semestre

El rango inter - cuartil \(IQR_1=Q_3 - Q_1=92.5-78 = 14.5\).

Paso 26: Calcular el rango inter - cuartil para el segundo semestre

El rango inter - cuartil \(IQR_2=Q_3 - Q_1=91 - 80=11\).

Paso 27: Comparar los rangos inter - cuartiles

Como \(14.5>11\), el símbolo es \(>\).

Paso 28: Calcular la desviación estándar para el primer semestre

La desviación estándar \(s_1=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x}_1)^2}{n - 1}}\).
\((78-85.8)^2=(-7.8)^2 = 60.84\), \((78 - 85.8)^2=60.84\), \((88-85.8)^2=(2.2)^2 = 4.84\), \((91-85.8)^2=(5.2)^2 = 27.04\), \((94-85.8)^2=(8.2)^2 = 67.24\).
\(\sum_{i=1}^{5}(x_i - 85.8)^2=60.84+60.84 + 4.84+27.04+67.24=220.8\).
\(s_1=\sqrt{\frac{220.8}{4}}=\sqrt{55.2}\approx7.43\).

Paso 29: Calcular la desviación estándar para el segundo semestre

La desviación estándar \(s_2=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x}_2)^2}{n - 1}}\).
\(\bar{x}_2\approx86.86\).
\((77-86.86)^2=(-9.86)^2 = 97.22\), \((80 - 86.86)^2=(-6.86)^2 = 47.06\), \((85-86.86)^2=(-1.86)^2 = 3.46\), \((88-86.86)^2=(1.14)^2 = 1.30\), \((91-86.86)^2=(4.14)^2 = 17.14\), \((91-86.86)^2=(4.14)^2 = 17.14\), \((96-86.86)^2=(9.14)^2 = 83.54\).
\(\sum_{i = 1}^{7}(x_i-86.86)^2=97.22+47.06+3.46+1.30+17.14+17.14+83.54=266.86\).
\(s_2=\sqrt{\frac{266.86}{6}}\approx6.66\).

Paso 30: Comparar las desviaciones estándar

Como \(7.43>6.66\), el símbolo es \(>\).

Respuesta:

	Semestre 1	SÍMBOLO	Semestre 2
Mediana	88	\(=\)	88
Moda	78	\(<\)	91
\(Q_1\)	78	\(<\)	80
\(Q_3\)	92.5	\(>\)	91
Mínimo	78	\(>\)	77
Máximo	94	\(<\)	96
Rango	16	\(<\)	19
Rango Inter - cuartil	14.5	\(>\)	11
Desviación estándar	7.43	\(>\)	6.66