Question

1. calcule os seguintes limites:

a) $\lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$ (2.5)
b) $\lim_{x \to 0}(2+\cos^{2}x - \sin x)^{-2}$ (2.5)

1. dada a função $f(x)=\

$$\begin{cases}x^{2}+2, & \\text{se }x\\leq1 \\ -x + a, & \\text{se }13\\end{cases}$$

$
a) construa o gráfico de $f(x)$ se $a = 2$ (2.0)
b) determine o valor de $a$ para que $f(x)$ seja contínua em $x = 1$ (2.0)
c) justifique se $f(x)$ e ou não contínua em $x = 3$ (2.0)

1. calcule a derivada da seguinte função aplicando a definição:

a) $f(x)=\cos x$ (3.0)

1. calcule as derivadas das seguintes funções compostas:

a) $y = \cos\sqrt{1 + 3x^{2}}+\ln(x + 3)$ (3.0)
b) $y = e^{\sqrt{x^{2}+1}}$ (3.0)

Explanation:

Step1: Dividir cada término por n

$\frac{n^2 + 4n - 5}{n} = n + 4 - \frac{5}{n}$

Step2: Evaluar límite cuando $n \to \infty$

$n \to \infty$, $\frac{5}{n} \to 0$, así $\lim_{n \to \infty} (n + 4 - \frac{5}{n}) = \infty$

Step1: Sustituir $x=0$ en la expresión

$2 + \cos^2 0 - \sin 0 = 2 + 1^2 - 0 = 3$

Step2: Elevar al -2

$3^{-2} = \frac{1}{9}$

Step1: Función por tramos con $a=2$

• $x \leq 1$: $f(x) = x^2 + 2$ (parábola, vértice (0,2), pasa por (1,3))
• $1 < x < 3$: $f(x) = -x + 2$ (recta, pendiente -1, en $x \to 1^+$: 1, en $x \to 3^-$: -1)
• $x > 3$: $f(x) = \log_2(x - 1)$ (logarítmica, en $x=4$: $\log_2 3$, creciente)

Step1: Condición de continuidad en $x=1$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

Step2: Calcular límites laterales

$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2) = 3$, $\lim_{x \to 1^+} (-x + a) = -1 + a$, $f(1)=3$

Step3: Igualar y resolver para $a$

$-1 + a = 3 \implies a=4$

Answer:

$\infty$