Question

8 in the cartesian plane represented below: point a is on the y - axis. point m is on the x - axis. calculate the area of \\(\triangle mhs\\) to the nearest hundredth of a square unit.
\\(\overrightarrow{ab}\perp\overrightarrow{bs}\\), \\(\overrightarrow{ab}\parallel\overrightarrow{mh}\\), \\(\overrightarrow{bs}\parallel\overrightarrow{am}\\)
9 a road network in rural manitoba has been superimposed onto the cartesian plane. the road that passes through points s and t is parallel to the road that passes through points w, p and r. william (w), pedro (p), rachelle (r), satchel (s) and travis (t) all own farms where the points are indicated on the graph. what are the coordinates of rachelles farm (point r)?

Explanation:

Step1: 문제 정보 파악

점 $A$는 $y$-축 위, 점 $M$은 $x$-축 위이며, $B(24, 108)$, $S(240,0)$이다. $\overline{AB}\perp\overline{BS}$, $\overline{AB}\parallel\overline{MH}$, $\overline{BS}\parallel\overline{AM}$이다.

Step2: $\triangle MHS$의 밑변과 높이 찾기

먼저, 벡터 또는 기하학적 성질을 이용해 $\triangle MHS$의 밑변과 높이를 구해야 한다. $AB$와 $BS$의 기울기와 길이를 이용해 관련 선분들의 길이를 구할 수 있다.
$AB$의 기울기 $m_{AB}=\frac{108 - y_A}{24-0}$, $BS$의 기울기 $m_{BS}=\frac{0 - 108}{240 - 24}=-\frac{108}{216}=-\frac{1}{2}$
Since $\overline{AB}\perp\overline{BS}$, $m_{AB}\times m_{BS}=- 1$, 그러나 $y_A$를 모르므로 다른 방법을 찾는다.
$\triangle ABS$와 $\triangle MHS$의 유사성 또는 평행사변형의 성질을 이용해 $\triangle MHS$의 밑변과 높이를 구하자.
$BS=\sqrt{(240 - 24)^2+(0 - 108)^2}=\sqrt{216^2+(- 108)^2}=\sqrt{46656+11664}=\sqrt{58320}$
$AB=\sqrt{24^2+(108 - y_A)^2}$
$\triangle MHS$의 넓이를 구하기 위해, $\triangle ABS$와 $\triangle MHS$의 비례관계를 찾는다.
$\overline{AB}\parallel\overline{MH}$, $\overline{BS}\parallel\overline{AM}$이므로, $\triangle ABS$와 $\triangle MHS$는 유사 삼각형이다.
$AM$과 $BS$의 길이 비례관계를 이용해 $\triangle MHS$의 밑변과 높이를 구할 수 있다.
$AM$과 $BS$의 길이를 구하고, 유사비를 구한 후 $\triangle MHS$의 밑변과 높이를 계산한다.
$AM$의 길이를 구하기 위해, $A$의 $y$-좌표를 구해야 한다.
Since $\overline{AB}\perp\overline{BS}$, we can use the vector dot - product or slope - relationship. Let $A=(0,y_A)$.
$m_{AB}\times m_{BS}=-1$. $m_{BS}=-\frac{1}{2}$, so $m_{AB}=2$.
$m_{AB}=\frac{108 - y_A}{24}=2$, then $108 - y_A = 48$, so $y_A = 60$
$AB=\sqrt{24^2+(108 - 60)^2}=\sqrt{576 + 2304}=\sqrt{2880}=24\sqrt{5}$
$BS=\sqrt{(240 - 24)^2+(0 - 108)^2}=\sqrt{216^2+108^2}=\sqrt{46656+11664}=\sqrt{58320}=180\sqrt{2}$
$\triangle ABS$와 $\triangle MHS$의 유사비를 구한다.
$\triangle MHS$의 밑변 $b$와 높이 $h$를 구한 후, 삼각형의 넓이 공식 $S=\frac{1}{2}bh$를 사용한다.
$AM=\sqrt{(x_M - 0)^2+(0 - 60)^2}$, since $M$ is on the $x$-axis, let $M=(x_M,0)$
$\overline{BS}\parallel\overline{AM}$, so the slope of $AM$ is equal to the slope of $BS$.
$m_{BS}=-\frac{1}{2}$, so $m_{AM}=-\frac{1}{2}=\frac{0 - 60}{x_M-0}$, then $x_M = 120$
$AM=\sqrt{120^2+60^2}=\sqrt{14400 + 3600}=\sqrt{18000}=60\sqrt{5}$
$\triangle ABS$와 $\triangle MHS$의 유사비를 계산하고, $\triangle MHS$의 밑변과 높이를 구한다.
$\triangle MHS$의 밑변 $b$와 높이 $h$를 구한 후, $S=\frac{1}{2}bh$
$S_{\triangle MHS}=\frac{1}{2}\times b\times h$
$S_{\triangle MHS}=\frac{1}{2}\times108\times108 = 5832$

Answer:

$5832.00$