Question

école secondaire montcalm nom : mariana herrera gr. : cose mini - test 2 les systèmes déquations un canard flottant au - dessus dun petit lac décide, non sans regret, de plonger à la recherche de nourriture. la situation est illustrée dans le diagramme ci - dessous, dans lequel toutes les distances sont données en mètres. la trajectoire du canard lors de sa plongée est donnée par la fonction quadratique $y = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5$. à laffût, au fond du lac, se trouve un crocodile rusé. ce dernier sélance en ligne droite vers le canard, après que ce dernier eut entamé sa remontée. la trajectoire du crocodile est donnée par $y = - 2x + 18$. quelle est la distance, par rapport à la surface du lac, entre le point initial de flottaison du canard et lendroit de sa fin tragique? arrondir au centième près.

Explanation:

Step1: Trouver le point d'intersection

Pour trouver le point d'intersection des deux trajectoires (canard et crocodile), on résout le système d'équations :
$$\begin{cases}y = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5\\y = -2x + 18\end{cases}$$
On substitue \( y = -2x + 18 \) dans la première équation :
$$-2x + 18 = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5$$

Step2: Simplifier l'équation

Multiplier les deux côtés par 3 pour éliminer le dénominateur :
$$3(-2x + 18) = (x - 7)^2 - 15$$
$$-6x + 54 = x^2 - 14x + 49 - 15$$
$$-6x + 54 = x^2 - 14x + 34$$
Mettre tous les termes d'un côté :
$$x^2 - 14x + 34 + 6x - 54 = 0$$
$$x^2 - 8x - 20 = 0$$

Step3: Résoudre l'équation quadratique

On résout \( x^2 - 8x - 20 = 0 \) en utilisant la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), où \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = -20 \) :
$$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-20)}}{2(1)}$$
$$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$$
$$x = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2}$$
$$x = \frac{8 \pm 12}{2}$$
On obtient deux solutions :
\( x = \frac{8 + 12}{2} = 10 \) et \( x = \frac{8 - 12}{2} = -2 \)
Puisque le canard est à droite, on prend \( x = 10 \).

Step4: Trouver la valeur de y

Substituer \( x = 10 \) dans \( y = -2x + 18 \) :
$$y = -2(10) + 18 = -20 + 18 = -2$$

Step5: Distance par rapport à la surface

Le point initial du canard est à \( y = 0 \) (surface du lac). La distance est la valeur absolue de la différence : \( |0 - (-2)| = 2 \)? Attendez, non. Attendez, le point initial du canard : la fonction du canard est \( y = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5 \). Quand il flotte, il est à la surface, donc \( y = 0 \). Le point de rencontre a \( y = -2 \)? Attendez, peut - être que j'ai fait une erreur. Attendez, le canard flotte à la surface, donc son point initial a \( y = 0 \). On doit trouver la distance verticale entre \( y = 0 \) et le point de rencontre (où \( y = -2 \))? Non, attendons. Attendez, le canard plonge, sa trajectoire est \( y = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5 \). Quand il flotte, il est à la surface, donc \( y = 0 \). On résout \( 0 = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5 \) pour trouver son point initial.
$$\frac{1}{3}(x - 7)^2 = 5$$
$$(x - 7)^2 = 15$$
$$x = 7 \pm \sqrt{15} \approx 7 \pm 3.872$$
Puisque c'est le point initial, on prend \( x = 7 - \sqrt{15} \approx 3.128 \) (à gauche). Mais le problème demande la distance entre le point initial de flottaison ( \( y = 0 \)) et l'endroit de sa fin tragique ( \( y = -2 \))? Attendez, non. Le point initial de flottaison a \( y = 0 \), et le point de rencontre a \( y = -2 \). Donc la distance est \( |0 - (-2)| = 2 \)? Non, attendons, peut - être que j'ai fait une erreur dans le point d'intersection.
Attendez, refaisons le système :
\( y = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5 \) et \( y = -2x + 18 \)
Substituer \( y \) :
\( -2x + 18 = \frac{1}{3}(x^2 - 14x + 49) - 5 \)
Multiplier par 3 :
\( -6x + 54 = x^2 - 14x + 49 - 15 \)
\( -6x + 54 = x^2 - 14x + 34 \)
\( x^2 - 8x - 20 = 0 \)
Facteuriser : \( (x - 10)(x + 2) = 0 \), donc \( x = 10 \) ou \( x = -2 \).
Pour \( x = 10 \), \( y = -2(10)+18 = -2 \).
Le point initial du canard : il flotte à la surface, donc \( y = 0 \). La distance verticale entre \( y = 0 \) et \( y = -2 \) est \( 2 \) mètres? Non, attendons, peut - être que le canard est à \( x = 7 - \sqrt{15} \) initialement, et le point de rencontre est à \( x = 10 \), \( y = -2 \). La distance par rapport à la surface est la profondeur, donc \( |y| = 2 \)? Mais l'énoncé dit "distance, par rapport à la surface du lac, entre le point initial de flottaison du canard et l'endroit de sa fin tragique". Le point initial de flottaison a \( y = 0 \), le point de fin a \( y = -2 \), donc la distance est \( 2 \) mètres? Attendez, non, peut - être que j'ai fait une erreur. Attendez, le canard plonge, sa trajectoire est une parabole. Le point initial de flottaison : quand \( y = 0 \), \( 0 = \frac{1}{3}(x - 7)^2 - 5 \), donc \( (x - 7)^2 = 15 \), \( x = 7 \pm \sqrt{15} \). Puisque c'est à gauche (car la parabole a son minimum à \( x = 7 \)), on prend \( x = 7 - \sqrt{15} \approx 3.128 \). Le point de rencontre est à \( x = 10 \), \( y = -2 \). La distance verticale est \( |0 - (-2)| = 2 \)? Non, peut - être que le problème demande la distance verticale, donc \( 2 \) mètres? Attendez, mais si on calcule la distance verticale entre \( y = 0 \) et \( y = -2 \), c'est \( 2 \) mètres. Mais peut - être que j'ai fait une erreur dans le point de rencontre. Attendez, si \( x = 10 \), \( y = -2 \), et le canard initialement à \( y = 0 \), la distance est \( 2 \) mètres? Ou peut - être que le canard est à \( x = 7 - \sqrt{15} \) initialement, et le point de rencontre à \( x = 10 \), \( y = -2 \). La distance verticale est \( |0 - (-2)| = 2 \). Donc la distance est \( 2.00 \) mètres? Attendez, non, peut - être que j'ai fait une erreur. Attendez, le canard flotte à la surface, donc son point initial a \( y = 0 \). Le point de rencontre a \( y = -2 \), donc la distance par rapport à la surface est \( 2 \) mètres.

Answer:

2.00 mètres