Question

1. a concert hall can seat at most 500 people. student tickets are $10 and adult tickets are $15.

(a) write inequalities that represent the situation if x=student tickets and y=adult tickets.
(b) if 300 student tickets are sold, how many adult tickets must be sold to earn at least $6000? is this solution feasible with the seating limit?

Explanation:

Step1: Escribir la desigualdad de capacidad

La capacidad máxima es de 500 personas, entonces $x + y\leq500$. Además, el número de boletos no puede ser negativo, es decir $x\geq0$ y $y\geq0$.

Step2: Escribir la desigualdad de ingresos

Los ingresos deben ser al menos 6000 dólares. Dado que los boletos para estudiantes cuestan 10 dólares y los para adultos 15 dólares, entonces $10x + 15y\geq6000$.

Step3: Resolver la parte (b)

Sustituir $x = 300$ en la desigualdad de ingresos:
$10\times300+15y\geq6000$
$3000 + 15y\geq6000$
$15y\geq6000 - 3000$
$15y\geq3000$
$y\geq\frac{3000}{15}$
$y\geq200$

Step4: Verificar la capacidad

Ahora, verificar si $x + y$ está dentro de la capacidad. Si $x = 300$ y $y = 200$, entonces $x + y=300 + 200=500$, que está dentro de la capacidad máxima de 500 personas.

Answer:

(a) $x + y\leq500$, $x\geq0$, $y\geq0$, $10x + 15y\geq6000$
(b) Debe venderse al menos 200 boletos para adultos y la solución es factible con la limitación de asientos.