Question

describe the end behavior of $f(x) = -10x^6$, and state the domain and range.
as $x \to -\infty$, $f(x) \to$ $-\infty$ and as $x \to \infty$, $f(x) \to$ $-\infty$,
domain: all real numbers
range: select choice
select choice
all real numbers
all real numbers $\leq 0$
all real numbers $\geq 0$

Explanation:

Step1: Analizar la función \( f(x) = -10x^6 \)

La función es un polinomio de grado 6 (par) con coeficiente principal negativo (\( -10 \)).

Step2: Comportamiento final

• Cuando \( x \to -\infty \): \( x^6 \) es positivo (porque el exponente es par), y al multiplicar por \( -10 \) (negativo), \( f(x) = -10x^6 \to -\infty \) (ya que \( x^6 \) crece a \( \infty \), y \( -10 \times \infty = -\infty \)).
• Cuando \( x \to \infty \): \( x^6 \) es positivo, y \( -10x^6 \to -\infty \) (por la misma razón: \( x^6 \to \infty \), \( -10 \times \infty = -\infty \)).

Step3: Dominio

El dominio de un polinomio es todos los números reales, ya que no hay restricciones (no hay divisiones por cero ni raíces pares de expresiones negativas).

Step4: Rango

• \( x^6 \geq 0 \) para todos los reales \( x \) (porque cualquier número real elevado a una potencia par es no negativo).
• Multiplicar por \( -10 \) (negativo) invierte la desigualdad: \( -10x^6 \leq 0 \) (ya que \( x^6 \geq 0 \implies -10x^6 \leq -10 \times 0 = 0 \)).
• Además, para cualquier número real \( y \leq 0 \), podemos encontrar un \( x \) tal que \( -10x^6 = y \) (por ejemplo, \( x = \sqrt[6]{-\frac{y}{10}} \), y como \( y \leq 0 \), \( -\frac{y}{10} \geq 0 \), entonces \( \sqrt[6]{-\frac{y}{10}} \) es real). Por lo tanto, el rango es todos los números reales \( \leq 0 \).

Answer:

As \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \) and as \( x \to \infty \), \( f(x) \to -\infty \).
domain: all real numbers
range: all real numbers \( \leq 0 \) (corresponding to the option "all real numbers \( \leq 0 \)")