Question

in the diagram, the cone is inscribed within the cube. if a point within the cube is chosen at random, what is the probability that the point lies within the cone?

Explanation:

Step1: Definir volúmenes

Sea el lado del cubo $a$. El volumen del cubo $V_{cubo}=a^{3}$. Para el cono inscrito, el radio de la base $r = \frac{a}{2}$ y la altura $h=a$. El volumen del cono $V_{cono}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Step2: Sustituir valores

Sustituimos $r=\frac{a}{2}$ y $h = a$ en la fórmula del volumen del cono: $V_{cono}=\frac{1}{3}\pi(\frac{a}{2})^{2}\cdot a=\frac{1}{3}\pi\frac{a^{2}}{4}\cdot a=\frac{\pi a^{3}}{12}$.

Step3: Calcular probabilidad

La probabilidad $P$ de que un punto elegido al azar en el cubo esté dentro del cono es $P=\frac{V_{cono}}{V_{cubo}}$. Sustituyendo $V_{cono}=\frac{\pi a^{3}}{12}$ y $V_{cubo}=a^{3}$, obtenemos $P = \frac{\frac{\pi a^{3}}{12}}{a^{3}}=\frac{\pi}{12}$.

Answer:

$\frac{\pi}{12}$