Question

in each figure, for what values of x and y is the figure a parallelogram?
a.
figure of a parallelogram with sides labeled 3x + 8, y + 2, 4 - x, 2y - 3
b.
figure of a parallelogram with angles labeled (4x - 12)°, (5y - 6)°, (3x + 5)°, (3y + 40)°
a. the figure is a parallelogram if x = \\(\square\\) and y = \\(\square\\).
(simplify your answers.)

Explanation:

Parte a:

Explicación:

Para un paralelogramo, los lados opuestos son iguales en longitud. Entonces, establecemos las ecuaciones para los lados opuestos:

Paso 1: Igualar lados verticales

Los lados verticales son \( y + 2 \) y \( 2y - 3 \). Entonces:
\( y + 2 = 2y - 3 \)
Restamos \( y \) de ambos lados:
\( 2 = y - 3 \)
Sumamos 3 a ambos lados:
\( y = 5 \)

Paso 2: Igualar lados horizontales

Los lados horizontales son \( 3x + 8 \) y \( 4 - x \). Sustituimos \( y = 5 \) (aunque no es necesario aquí, pero resolvemos para \( x \)):
\( 3x + 8 = 4 - x \)
Sumamos \( x \) a ambos lados:
\( 4x + 8 = 4 \)
Restamos 8 de ambos lados:
\( 4x = -4 \)
Dividimos por 4:
\( x = -1 \)

Respuesta:

Para la figura a, \( x = -1 \) y \( y = 5 \).

---

Parte b:

Explicación:

Para un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. Entonces, establecemos las ecuaciones para los ángulos opuestos:

Paso 1: Igualar ángulos opuestos (1)

Los ángulos \( (4x - 12)^\circ \) y \( (3x + 5)^\circ \) son opuestos? Wait, no, en un paralelogramo, ángulos consecutivos son suplementarios, pero ángulos opuestos son iguales. Wait, las expresiones de ángulos son \( (4x - 12)^\circ \), \( (5y - 6)^\circ \), \( (3y + 40)^\circ \), \( (3x + 5)^\circ \). Entonces, ángulos opuestos: \( 4x - 12 = 3x + 5 \) y \( 5y - 6 = 3y + 40 \).

Paso 2: Resolver para \( x \)

\( 4x - 12 = 3x + 5 \)
Restamos \( 3x \) de ambos lados:
\( x - 12 = 5 \)
Sumamos 12 a ambos lados:
\( x = 17 \)

Paso 3: Resolver para \( y \)

\( 5y - 6 = 3y + 40 \)
Restamos \( 3y \) de ambos lados:
\( 2y - 6 = 40 \)
Sumamos 6 a ambos lados:
\( 2y = 46 \)
Dividimos por 2:
\( y = 23 \)

Respuesta:

Para la figura b, \( x = 17 \) y \( y = 23 \).

Answer:

Parte a:

Explicación:

Para un paralelogramo, los lados opuestos son iguales en longitud. Entonces, establecemos las ecuaciones para los lados opuestos:

Paso 1: Igualar lados verticales

Los lados verticales son \( y + 2 \) y \( 2y - 3 \). Entonces:
\( y + 2 = 2y - 3 \)
Restamos \( y \) de ambos lados:
\( 2 = y - 3 \)
Sumamos 3 a ambos lados:
\( y = 5 \)

Paso 2: Igualar lados horizontales

Los lados horizontales son \( 3x + 8 \) y \( 4 - x \). Sustituimos \( y = 5 \) (aunque no es necesario aquí, pero resolvemos para \( x \)):
\( 3x + 8 = 4 - x \)
Sumamos \( x \) a ambos lados:
\( 4x + 8 = 4 \)
Restamos 8 de ambos lados:
\( 4x = -4 \)
Dividimos por 4:
\( x = -1 \)

Respuesta:

Para la figura a, \( x = -1 \) y \( y = 5 \).

---

Parte b:

Explicación:

Para un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. Entonces, establecemos las ecuaciones para los ángulos opuestos:

Paso 1: Igualar ángulos opuestos (1)

Los ángulos \( (4x - 12)^\circ \) y \( (3x + 5)^\circ \) son opuestos? Wait, no, en un paralelogramo, ángulos consecutivos son suplementarios, pero ángulos opuestos son iguales. Wait, las expresiones de ángulos son \( (4x - 12)^\circ \), \( (5y - 6)^\circ \), \( (3y + 40)^\circ \), \( (3x + 5)^\circ \). Entonces, ángulos opuestos: \( 4x - 12 = 3x + 5 \) y \( 5y - 6 = 3y + 40 \).

Paso 2: Resolver para \( x \)

\( 4x - 12 = 3x + 5 \)
Restamos \( 3x \) de ambos lados:
\( x - 12 = 5 \)
Sumamos 12 a ambos lados:
\( x = 17 \)

Paso 3: Resolver para \( y \)

\( 5y - 6 = 3y + 40 \)
Restamos \( 3y \) de ambos lados:
\( 2y - 6 = 40 \)
Sumamos 6 a ambos lados:
\( 2y = 46 \)
Dividimos por 2:
\( y = 23 \)

Respuesta:

Para la figura b, \( x = 17 \) y \( y = 23 \).