Question

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find the inverse of the function $f(x)=x^{2}+2x + 1$. is the inverse a function?
the inverse of the function is $y = \square$
(simplify your answer.)

Explanation:

Step1: Escribir \( y = f(x) \)

Primero, escribimos la función como \( y = x^2 + 2x + 1 \). Notamos que \( x^2 + 2x + 1 \) es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que se puede factorizar como \( (x + 1)^2 \). Entonces, \( y=(x + 1)^2 \).

Step2: Intercambiar \( x \) e \( y \)

Intercambiamos \( x \) e \( y \) para encontrar la inversa, lo que da \( x=(y + 1)^2 \).

Step3: Resolver para \( y \)

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados. Tenemos \( \pm\sqrt{x}=y + 1 \). Luego, resolvemos para \( y \): \( y=-1\pm\sqrt{x} \).

Sin embargo, la función original \( f(x)=(x + 1)^2 \) no es una función uno a uno en su dominio natural (todos los reales), pero si consideramos su dominio restringido (por ejemplo, \( x\geq - 1 \) o \( x\leq - 1 \)), la inversa se puede expresar. Pero si solo queremos la expresión de la inversa (aunque no sea una función en el dominio de todos los reales), la expresión es \( y=-1\pm\sqrt{x} \). Pero si la función original se considera con dominio \( x\geq - 1 \) (donde es creciente), entonces la inversa es \( y=-1+\sqrt{x} \); si el dominio es \( x\leq - 1 \) (donde es decreciente), la inversa es \( y=-1-\sqrt{x} \). Pero en términos de la operación de encontrar la inversa (aunque no sea una función en \( \mathbb{R} \) sin restricción), la expresión es \( y=-1\pm\sqrt{x} \). Pero probablemente se espera la forma con la raíz, asumiendo un dominio restringido.

Answer:

\( y=-1\pm\sqrt{x} \) (o si se considera un dominio restringido, \( y=-1+\sqrt{x} \) o \( y=-1-\sqrt{x} \))

Para la pregunta de si la inversa es una función: La inversa \( y=-1\pm\sqrt{x} \) no es una función porque para un valor de \( x>0 \), hay dos valores de \( y \) (uno con el signo positivo y uno con el signo negativo en la raíz).