Question

find a positive value of b so that the trinomial is factorable.
$5x^2 + bx - 3$
$b = \square$

Explanation:

Step1: Factorizar el trinomio

Queremos factorizar \(5x^2 + bx - 3\) como \((ax + m)(cx + n)\), donde \(a \cdot c = 5\) y \(m \cdot n = -3\). Dado que \(5\) es primo, \(a = 5\) y \(c = 1\) (o viceversa). Para \(m \cdot n = -3\), posibles pares son \((m, n) = ( -1, 3)\) o \((3, -1)\) o \((1, -3)\) o \(( -3, 1)\).

Step2: Elegir un par y expandir

Tomemos \(m = -1\) y \(n = 3\). Entonces \((5x - 1)(x + 3)\). Expandimos: \(5x \cdot x + 5x \cdot 3 - 1 \cdot x - 1 \cdot 3 = 5x^2 + 15x - x - 3 = 5x^2 + 14x - 3\). Aquí, \(b = 14\). (También hay otras opciones, pero tomamos esta como ejemplo.)

Answer:

14 (o otro valor positivo como 2, si tomamos \((5x + 3)(x - 1)\) y expandimos: \(5x^2 -5x + 3x -3 = 5x^2 -2x -3\), pero queremos \(b\) positivo, así que mejor \((5x - 1)(x + 3)\) da \(b = 14\) o \((5x + 1)(x - 3)\) da \(5x^2 -15x + x -3 = 5x^2 -14x -3\) (no positivo), \((5x + 3)(x - 1)\) da \(5x^2 -5x + 3x -3 = 5x^2 -2x -3\) (no positivo), \((5x - 3)(x + 1)\) da \(5x^2 +5x -3x -3 = 5x^2 +2x -3\), así que \(b = 2\) también es válido. Pero la más común es 14 o 2. Aquí usamos 14 como ejemplo.)