Question

identificacion de intersecciones y comportamiento final de una función logarítmica
¿qué pasa con el valor de $f(x) = \log_{4} x$ como $x$ aproches 0 desde la derecha?
¿qué pasa con el valor de $f(x) = \log_{4} x$ como $x$ aproches $+\infty$?

Explanation:

Step1: Analizar el comportamiento de \( f(x) = \log_4 x \) cuando \( x \to 0^+ \)

Recuerda que la función logarítmica \( y = \log_b x \) (con \( b > 1 \)) tiene un dominio \( x > 0 \). Cuando \( x \) se acerca a 0 desde la derecha (\( x \to 0^+ \)), la función \( \log_b x \) tiende a \( -\infty \). Esto se debe a que \( 4^y = x \), y si \( x \) se hace muy pequeño (cercano a 0), \( y \) debe ser un número negativo muy grande (ya que \( 4^y \) es pequeño cuando \( y \) es negativo grande). Entonces, para \( f(x) = \log_4 x \), cuando \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to -\infty \).

Step2: Analizar el comportamiento de \( f(x) = \log_4 x \) cuando \( x \to +\infty \)

Para la función logarítmica \( y = \log_b x \) con \( b > 1 \), cuando \( x \) tiende a \( +\infty \), la función \( \log_b x \) tiende a \( +\infty \). Esto se debe a que \( 4^y = x \), y si \( x \) se hace muy grande, \( y \) también debe ser un número grande (ya que \( 4^y \) crece a medida que \( y \) aumenta). Entonces, para \( f(x) = \log_4 x \), cuando \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).

Answer:

1. Cuando \( x \) se aproxima a 0 desde la derecha, \( f(x) = \log_4 x \) tiende a \( -\infty \).
2. Cuando \( x \) se aproxima a \( +\infty \), \( f(x) = \log_4 x \) tiende a \( +\infty \).