Question

la pirámide rectangular y el prisma rectangular que se muestran a continuación tienen la misma longitud, la misma anchura y la misma altura. completar lo siguiente. (a) calcular el volumen de la pirámide. 16 cm³ (b) calcular el volumen del prisma. 48 cm³ (c) completar la ecuación. volumen de la pirámide = (1/3) × volumen del prisma ¿cuándo es verdadera esta ecuación? esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y las pirámides rectangulares. esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y pirámides rectangulares con la misma longitud, la misma anchura y la misma altura. esta ecuación es verdadera solo para el prisma rectangular y la pirámide rectangular que se muestran arriba.

Explanation:

(a) Cálculo del volumen de la pirámide

Step 1: Recuerda la fórmula del volumen de una pirámide

El volumen \( V \) de una pirámide con base rectangular es \( V = \frac{1}{3} \times \text{Área de la base} \times \text{altura} \). La base es un rectángulo con longitud \( l = 6 \, \text{cm} \), anchura \( w = 2 \, \text{cm} \) y altura de la pirámide \( h = 4 \, \text{cm} \).

Step 2: Calcula el área de la base

El área de la base \( B \) del rectángulo es \( B = l \times w = 6 \times 2 = 12 \, \text{cm}^2 \).

Step 3: Sustituye en la fórmula del volumen de la pirámide

\( V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} \times B \times h = \frac{1}{3} \times 12 \times 4 \).

Step 4: Realiza la operación

\( \frac{1}{3} \times 12 = 4 \), luego \( 4 \times 4 = 16 \, \text{cm}^3 \).

(b) Cálculo del volumen del prisma

Step 1: Recuerda la fórmula del volumen de un prisma rectangular

El volumen \( V \) de un prisma rectangular es \( V = \text{Área de la base} \times \text{altura} \). La base es el mismo rectángulo que en la pirámide: \( l = 6 \, \text{cm} \), \( w = 2 \, \text{cm} \), y la altura del prisma es \( h = 4 \, \text{cm} \).

Step 2: Calcula el área de la base (ya calculada en (a))

\( B = 6 \times 2 = 12 \, \text{cm}^2 \).

Step 3: Sustituye en la fórmula del volumen del prisma

\( V_{\text{prisma}} = B \times h = 12 \times 4 \).

Step 4: Realiza la operación

\( 12 \times 4 = 48 \, \text{cm}^3 \).

(c) ¿Cuándo es verdadera la ecuación \( \text{Volumen de la pirámide} = \frac{1}{3} \times \text{Volumen del prisma} \)?

La relación \( V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} V_{\text{prisma}} \) es una propiedad geométrica que se cumple cuando la pirámide y el prisma tienen la misma base (mismo área de base) y la misma altura (es decir, la altura de la pirámide coincide con la altura del prisma, y la base de la pirámide es igual a la base del prisma). Esta relación es general para pirámides y prismas con bases poligonales congruentes y mismas alturas (no solo para rectangulares, pero en este caso son rectangulares).

Analizando las opciones:

• Opción 1: "Esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y las pirámides rectangulares." → Incorrecto, porque deben tener la misma base y altura.
• Opción 2: "Esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y pirámides rectangulares con la misma longitud, la misma anchura y la misma altura." → Correcto, porque "misma longitud, anchura y altura" implica misma base (área) y misma altura, lo que satisface la condición de la relación \( V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} V_{\text{prisma}} \).
• Opción 3: "Esta ecuación es verdadera solo para el prisma rectangular y la pirámide rectangular que se muestran arriba." → Incorrecto, porque la relación es general para cualquier pirámide y prisma con misma base y altura, no solo para estos dos.

Respuestas:

(a) Volumen de la pirámide: \( \boldsymbol{16 \, \text{cm}^3} \)
(b) Volumen del prisma: \( \boldsymbol{48 \, \text{cm}^3} \)
(c) Opción correcta: "Esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y pirámides rectangulares con la misma longitud, la misma anchura y la misma altura."

Answer:

La relación \( V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} V_{\text{prisma}} \) es una propiedad geométrica que se cumple cuando la pirámide y el prisma tienen la misma base (mismo área de base) y la misma altura (es decir, la altura de la pirámide coincide con la altura del prisma, y la base de la pirámide es igual a la base del prisma). Esta relación es general para pirámides y prismas con bases poligonales congruentes y mismas alturas (no solo para rectangulares, pero en este caso son rectangulares).

Analizando las opciones:

• Opción 1: "Esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y las pirámides rectangulares." → Incorrecto, porque deben tener la misma base y altura.
• Opción 2: "Esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y pirámides rectangulares con la misma longitud, la misma anchura y la misma altura." → Correcto, porque "misma longitud, anchura y altura" implica misma base (área) y misma altura, lo que satisface la condición de la relación \( V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} V_{\text{prisma}} \).
• Opción 3: "Esta ecuación es verdadera solo para el prisma rectangular y la pirámide rectangular que se muestran arriba." → Incorrecto, porque la relación es general para cualquier pirámide y prisma con misma base y altura, no solo para estos dos.

Respuestas:

(a) Volumen de la pirámide: \( \boldsymbol{16 \, \text{cm}^3} \)
(b) Volumen del prisma: \( \boldsymbol{48 \, \text{cm}^3} \)
(c) Opción correcta: "Esta ecuación es verdadera para todos los prismas rectangulares y pirámides rectangulares con la misma longitud, la misma anchura y la misma altura."