Question

函数图像
$f(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$

Explanation:

Step1: 确定函数表达式

从图中可知函数\(f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)，这是双曲正弦函数\(\sinh x\)的表达式，即\(f(x)=\sinh x\)。

Step2: 分析函数的奇偶性

计算\(f(-x)\)，将\(x\)替换为\(-x\)，则\(f(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}\)。

Step3: 比较\(f(-x)\)与\(-f(x)\)

对\(f(x)\)取负，\(-f(x)=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}\)，可以发现\(f(-x)=-f(x)\)。

Step4: 分析函数的定义域

函数\(f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)的定义域为\(R\)（全体实数），关于原点对称。

Step5: 分析函数的单调性（求导）

对\(f(x)\)求导，根据求导公式\((e^{x})^\prime = e^{x}\)，\((e^{-x})^\prime=-e^{-x}\)，则\(f^\prime(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)。
因为\(e^{x}\gt0\)，\(e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}\gt0\)，所以\(e^{x}+e^{-x}\gt0\)，那么\(f^\prime(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\gt0\)恒成立，所以函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增。

Step6: 分析函数的特殊点

当\(x = 0\)时，\(f(0)=\frac{e^{0}-e^{0}}{2}=0\)。

Step7: 绘制函数图象

根据函数的奇偶性（奇函数，图象关于原点对称）、单调性（在\(R\)上单调递增）以及特殊点\((0,0)\)来绘制图象。当\(x\)增大时，\(e^{x}\)增长速度远快于\(e^{-x}\)，函数值增长越来越快；当\(x\)减小时，函数值为负，且随着\(x\)减小（绝对值增大），函数值的绝对值也增大（因为单调递增，\(x\)越小，函数值越小）。

Answer:

函数\(f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)（即双曲正弦函数\(\sinh x\)）的图象关于原点对称，在\(R\)上单调递增，过点\((0,0)\)，当\(x\gt0\)时函数值为正且递增，当\(x\lt0\)时函数值为负且递增（图象从第三象限经过原点向第一象限上升）。