Question

nine congruent circles are inscribed in a square with a side length of 156. if a point in the square is chosen at random, what is the probability that the point is not in a circle? round your answer to the nearest tenth of a percent.

Explanation:

Step1: Calcula el lado del cuadrado interno

Como hay 3 círculos en cada lado del arreglo de círculos inscritos en el cuadrado grande de lado 156, el diámetro de cada círculo $d$ se obtiene dividiendo el lado del cuadrado grande entre 3. Entonces $d=\frac{156}{3}=52$, y el radio $r = \frac{d}{2}=26$.

Step2: Calcula el área del cuadrado

El área del cuadrado $A_{cuadrado}=s^2$, donde $s = 156$. Así, $A_{cuadrado}=156^2=24336$.

Step3: Calcula el área de los 9 círculos

El área de un círculo se calcula con la fórmula $A_{círculo}=\pi r^2$. Con $r = 26$, $A_{círculo}=\pi(26)^2 = 676\pi$. El área de 9 círculos $A_{9círculos}=9\times676\pi=6084\pi$.

Step4: Calcula la probabilidad

La probabilidad $P$ de que un punto no esté en un círculo es $P = 1-\frac{A_{9círculos}}{A_{cuadrado}}$. Sustituyendo los valores: $P = 1-\frac{6084\pi}{24336}$.
$P = 1-\frac{\pi}{4}\approx1 - 0.7854=0.2146$.
Para convertir a porcentaje, multiplicamos por 100: $P = 21.5\%$ (redondeado al décimo más cercano).

Answer:

21.5%