Question

in problems 9 - 12, find the center and radius of each circle. write the standard form of the equation.

Explanation:

Paso 1: Recordar la forma estándar de la ecuación de un círculo

La forma estándar de la ecuación de un círculo es $(x - h)^2+(y - k)^2=r^2$, donde $(h,k)$ es el centro del círculo y $r$ es el radio.

Paso 2: Resolver para el problema 9

• Encontrar el centro:

Los puntos dados son $(0,1)$ y $(2,1)$. Como tienen la misma coordenada $y$, el centro del círculo tiene la coordenada $y = 1$. La coordenada $x$ del centro es el punto medio entre $x = 0$ y $x=2$. El punto medio en el eje $x$ se calcula como $\frac{0 + 2}{2}=1$. Entonces el centro $(h,k)=(1,1)$.

• Encontrar el radio:

Tomamos la distancia entre el centro $(1,1)$ y el punto $(0,1)$. Usando la fórmula de la distancia $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$, aquí $x_1 = 1,y_1 = 1,x_2=0,y_2 = 1$. Entonces $r=\sqrt{(0 - 1)^2+(1 - 1)^2}=1$.

• Escribir la ecuación:

La ecuación del círculo es $(x - 1)^2+(y - 1)^2=1$.

Paso 3: Resolver para el problema 10

• Centro: El centro está dado como $(1,2)$, es decir $h = 1,k = 2$.
• Radio: La distancia entre el centro $(1,2)$ y el punto $(1,0)$. Usando la fórmula de la distancia $r=\sqrt{(1 - 1)^2+(0 - 2)^2}=2$.
• Ecuación: La ecuación del círculo es $(x - 1)^2+(y - 2)^2=4$.

Paso 4: Resolver para el problema 11

• Centro:

Para encontrar el centro, el punto medio entre los puntos $(1,2)$ y $(4,2)$ se calcula. La coordenada $y$ es $2$ (ya que es la misma para ambos puntos). La coordenada $x$ del centro es $\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$. Entonces el centro $(h,k)=(\frac{5}{2},2)$.

• Radio:

Tomamos la distancia entre el centro $(\frac{5}{2},2)$ y el punto $(1,2)$. Usando la fórmula de la distancia $r=\sqrt{(1-\frac{5}{2})^2+(2 - 2)^2}=\frac{3}{2}$.

• Ecuación: La ecuación del círculo es $(x-\frac{5}{2})^2+(y - 2)^2=\frac{9}{4}$.

Paso 5: Resolver para el problema 12

• Centro:

El punto medio entre $(0,1)$ y $(2,3)$: La coordenada $x$ del centro es $\frac{0 + 2}{2}=1$, la coordenada $y$ del centro es $\frac{1+3}{2}=2$. Entonces el centro $(h,k)=(1,2)$.

• Radio:

Tomamos la distancia entre el centro $(1,2)$ y el punto $(0,1)$. Usando la fórmula de la distancia $r=\sqrt{(0 - 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{2}$.

• Ecuación: La ecuación del círculo es $(x - 1)^2+(y - 2)^2=2$.

Respuesta:

• Problema 9: Centro: $(1,1)$, Radio: $1$, Ecuación: $(x - 1)^2+(y - 1)^2=1$
• Problema 10: Centro: $(1,2)$, Radio: $2$, Ecuación: $(x - 1)^2+(y - 2)^2=4$
• Problema 11: Centro: $(\frac{5}{2},2)$, Radio: $\frac{3}{2}$, Ecuación: $(x-\frac{5}{2})^2+(y - 2)^2=\frac{9}{4}$
• Problema 12: Centro: $(1,2)$, Radio: $\sqrt{2}$, Ecuación: $(x - 1)^2+(y - 2)^2=2$

Answer:

Paso 1: Recordar la forma estándar de la ecuación de un círculo

La forma estándar de la ecuación de un círculo es $(x - h)^2+(y - k)^2=r^2$, donde $(h,k)$ es el centro del círculo y $r$ es el radio.

Paso 2: Resolver para el problema 9

• Encontrar el centro:

Los puntos dados son $(0,1)$ y $(2,1)$. Como tienen la misma coordenada $y$, el centro del círculo tiene la coordenada $y = 1$. La coordenada $x$ del centro es el punto medio entre $x = 0$ y $x=2$. El punto medio en el eje $x$ se calcula como $\frac{0 + 2}{2}=1$. Entonces el centro $(h,k)=(1,1)$.

• Encontrar el radio:

Tomamos la distancia entre el centro $(1,1)$ y el punto $(0,1)$. Usando la fórmula de la distancia $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$, aquí $x_1 = 1,y_1 = 1,x_2=0,y_2 = 1$. Entonces $r=\sqrt{(0 - 1)^2+(1 - 1)^2}=1$.

• Escribir la ecuación:

La ecuación del círculo es $(x - 1)^2+(y - 1)^2=1$.

Paso 3: Resolver para el problema 10

• Centro: El centro está dado como $(1,2)$, es decir $h = 1,k = 2$.
• Radio: La distancia entre el centro $(1,2)$ y el punto $(1,0)$. Usando la fórmula de la distancia $r=\sqrt{(1 - 1)^2+(0 - 2)^2}=2$.
• Ecuación: La ecuación del círculo es $(x - 1)^2+(y - 2)^2=4$.

Paso 4: Resolver para el problema 11

• Centro:

Para encontrar el centro, el punto medio entre los puntos $(1,2)$ y $(4,2)$ se calcula. La coordenada $y$ es $2$ (ya que es la misma para ambos puntos). La coordenada $x$ del centro es $\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$. Entonces el centro $(h,k)=(\frac{5}{2},2)$.

• Radio:

Tomamos la distancia entre el centro $(\frac{5}{2},2)$ y el punto $(1,2)$. Usando la fórmula de la distancia $r=\sqrt{(1-\frac{5}{2})^2+(2 - 2)^2}=\frac{3}{2}$.

• Ecuación: La ecuación del círculo es $(x-\frac{5}{2})^2+(y - 2)^2=\frac{9}{4}$.

Paso 5: Resolver para el problema 12

• Centro:

El punto medio entre $(0,1)$ y $(2,3)$: La coordenada $x$ del centro es $\frac{0 + 2}{2}=1$, la coordenada $y$ del centro es $\frac{1+3}{2}=2$. Entonces el centro $(h,k)=(1,2)$.

• Radio:

Tomamos la distancia entre el centro $(1,2)$ y el punto $(0,1)$. Usando la fórmula de la distancia $r=\sqrt{(0 - 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{2}$.

• Ecuación: La ecuación del círculo es $(x - 1)^2+(y - 2)^2=2$.

Respuesta:

• Problema 9: Centro: $(1,1)$, Radio: $1$, Ecuación: $(x - 1)^2+(y - 1)^2=1$
• Problema 10: Centro: $(1,2)$, Radio: $2$, Ecuación: $(x - 1)^2+(y - 2)^2=4$
• Problema 11: Centro: $(\frac{5}{2},2)$, Radio: $\frac{3}{2}$, Ecuación: $(x-\frac{5}{2})^2+(y - 2)^2=\frac{9}{4}$
• Problema 12: Centro: $(1,2)$, Radio: $\sqrt{2}$, Ecuación: $(x - 1)^2+(y - 2)^2=2$