Question

¿qué gráfica muestra la función logarítmica?
$f(x) = \log_{0.5} x$?

Explanation:

Step1: Analizar la función logarítmica

La función es \( f(x) = \log_{0.5} x \). Recordamos que para una función logarítmica \( y = \log_b x \), el dominio es \( x > 0 \), el rango es \( \mathbb{R} \), y si la base \( b \) está entre 0 y 1 (\( 0 < b < 1 \)), la función es decreciente. Aquí, \( b = 0.5 \), que está en \( (0,1) \), por lo que la función es decreciente. También, cuando \( x = 1 \), \( f(1) = \log_{0.5} 1 = 0 \) (ya que \( \log_b 1 = 0 \) para cualquier base \( b > 0, b
eq 1 \)). Cuando \( x = 0.5 \), \( f(0.5) = \log_{0.5} 0.5 = 1 \); cuando \( x = 2 \), \( f(2) = \log_{0.5} 2 = -1 \) (ya que \( 0.5^{-1} = 2 \)).

Step2: Analizar las gráficas

• La primera gráfica: Verificamos el dominio (solo \( x > 0 \), lo que coincide con la función logarítmica). La curva es decreciente, y pasaría por \( (1,0) \), \( (0.5,1) \), \( (2,-1) \). Observando la gráfica, la curva está en el primer cuadrante (ya que \( x > 0 \)) y es decreciente, lo que coincide con la función \( \log_{0.5} x \).
• La segunda gráfica: Parece que la curva está en el primer y cuarto cuadrantes, pero la función logarítmica \( \log_{0.5} x \) solo está definida para \( x > 0 \), por lo que su gráfica solo está en el primer cuadrante (ya que \( x > 0 \) y \( y \) puede ser cualquier número real, pero la gráfica de \( \log_{0.5} x \) no tiene puntos con \( x \leq 0 \)). Además, la segunda gráfica parece tener una curva que podría estar en \( x \) negativo (lo que no es posible para la función logarítmica dada, ya que el dominio es \( x > 0 \)).

Answer:

La primera gráfica (la que tiene la curva en el primer cuadrante, decreciente, con \( x > 0 \)) muestra la función logarítmica \( f(x) = \log_{0.5} x \).