Question

question 4
on a représenté une fonction périodique dans le plan cartésien ci-dessous.

a) déterminez la période de cette fonction.

b) calculez la valeur de chacune de ces expressions.

1. $f(25) =$ 2) $f(34) =$ 3) $f(43) =$

c) déterminez les valeurs du domaine pour lesquelles:

1. $f(x) = 8$ sur lintervalle $10, 18$;
2. $f(x) = 0$ sur lintervalle $25, 35$;
3. $f(x) = 4$.

Explanation:

Step1: Déterminer la période

La période est la distance entre deux points identiques de la fonction. On observe que le sommet en $x=0$ est reproduit en $x=4$, donc la période $T=4$.

Step2: Calculer $f(25)$

On utilise la périodicité : on calcule le reste de la division de 25 par 4.
$25 = 6 \times 4 + 1$, donc $f(25)=f(1)$. Sur le graphe, $f(1)=6$.

Step3: Calculer $f(34)$

On calcule le reste de 34 par 4 :
$34 = 8 \times 4 + 2$, donc $f(34)=f(2)$. Sur le graphe, $f(2)=0$.

Step4: Calculer $f(43)$

On calcule le reste de 43 par 4 :
$43 = 10 \times 4 + 3$, donc $f(43)=f(3)$. Sur le graphe, $f(3)=6$.

Step5: Trouver $f(x)=8$ sur $[10,18]$

La fonction atteint 8 aux $x=0 + kT$ avec $k$ entier. Sur $[10,18]$ :
$10 = 2\times4 + 2$, donc les valeurs sont $12=3\times4$, $16=4\times4$.

Step6: Trouver $f(x)=0$ sur $[25,35]$

La fonction atteint 0 aux $x=2 + kT$ avec $k$ entier. Sur $[25,35]$ :
$25=6\times4+1$, donc les valeurs sont $26=6\times4+2$, $30=7\times4+2$, $34=8\times4+2$.

Step7: Trouver toutes les $x$ où $f(x)=4$

Sur une période $[-2,2]$, $f(x)=4$ aux $x=-1$ et $x=1$. Avec la périodicité, les solutions sont $x=4k\pm1$ où $k$ est un entier relatif.

Answer:

a) $4$
b)

1. $6$
2. $0$
3. $6$

c)

1. $x=12$ et $x=16$
2. $x=26$, $x=30$ et $x=34$
3. $x=4k\pm1$, $k\in\mathbb{Z}$