Question

. a remarkable sequence

1. calculate each of the following chains of operations.

1ˢᵗ chain: 0 × 1 × 2 + 1 =
2ⁿᵈ chain: 1 × 2 × 3 + 2 =
3ʳᵈ chain: 2 × 3 × 4 + 3 =
4ᵗʰ chain: 3 × 4 × 5 + 4 =

1. what do you notice about the result of each of these chains?
2. establish a conjecture
3. prove your established conjecture.

Explanation:

Step1: 1번 체인 계산

$0 \times 1 \times 2 + 1 = 0 + 1 = 1$

Step2: 2번 체인 계산

$1 \times 2 \times 3 + 2 = 6 + 2 = 8$

Step3: 3번 체인 계산

$2 \times 3 \times 4 + 3 = 24 + 3 = 27$

Step4: 4번 체인 계산

$3 \times 4 \times 5 + 4 = 60 + 4 = 64$

Step5: 결과 패턴 관찰

각 결과는 $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$으로 자연수의 세제곱이다.

Step6: 추측 설정

n을 자연수로 할 때, $(n-1) \times n \times (n+1) + n = n^3$ (단, $n \geq 1$)

Step7: 추측 증명

좌변을 전개:

$$\begin{align*} (n-1) \times n \times (n+1) + n &= n(n^2 - 1) + n \\ &= n^3 - n + n \\ &= n^3 \end{align*}$$

좌변과 우변이 동일하므로 추측이 성립한다.

Answer:

1. 1번 체인: $1$, 2번 체인: $8$, 3번 체인: $27$, 4번 체인: $64$
2. 각 체인의 결과는 차례로 1, 2, 3, 4의 세제곱으로 자연수의 세제곱 형태를 띤다.
3. 자연수 $n$에 대해 $(n-1) \times n \times (n+1) + n = n^3$ 이다.
4. 위 증명 과정을 통해 추측이 참임을 확인했다.