Question

a roller coaster designer is considering the possibility of using quadratic functions to model portions of a roller coaster ride. the functions below represent the height of the roller coaster car at any time from beginning of the ride. the height is in feet and the time is in seconds.
(y = 2x^{2}-40x + 217)

1. write the equation in vertex form.
2. identify the vertex.
3. determine if the vertex is a maximum or a minimum.
4. explain what the vertex means in the context.

Explanation:

Explicación:

Paso 1: Completar el trinomio cuadrado perfecto

Comenzamos con la función $y = 2x^{2}-40x + 217$. Sacamos factor común 2 del primer y segundo término: $y=2(x^{2}-20x)+217$.
El término que falta para completar el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis es $(\frac{- 20}{2})^{2}=100$. Pero al agregar 100 dentro del paréntesis, debemos restar $2\times100$ fuera del paréntesis para no cambiar el valor de la función.
$y = 2(x^{2}-20x + 100)-2\times100 + 217$.

Paso 2: Escribir en forma vértice

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto: $y=2(x - 10)^{2}-200 + 217$.
Luego simplificamos: $y=2(x - 10)^{2}+17$.

Paso 3: Identificar el vértice

Para una función en forma vértice $y=a(x - h)^{2}+k$, el vértice es $(h,k)$. Entonces, para $y = 2(x - 10)^{2}+17$, el vértice es $(10,17)$.

Paso 4: Determinar si es máximo o mínimo

Como $a = 2>0$, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.

Paso 5: Interpretar el vértice en el contexto

En el contexto del problema, donde $x$ es el tiempo en segundos y $y$ es la altura en pies, el vértice $(10,17)$ significa que en $t = 10$ segundos, la altura del coche del rodillo - coaster es de 17 pies, que es la altura mínima alcanzada durante la parte del recorrido modelado por esta función.

Respuesta:

• Ecuación en forma vértice: $y=2(x - 10)^{2}+17$
• Vértice: $(10,17)$
• El vértice es un mínimo.
• Interpretación: A los 10 segundos, el coche del rodillo - coaster estará a una altura mínima de 17 pies.

Answer:

Explicación:

Paso 1: Completar el trinomio cuadrado perfecto

Comenzamos con la función $y = 2x^{2}-40x + 217$. Sacamos factor común 2 del primer y segundo término: $y=2(x^{2}-20x)+217$.
El término que falta para completar el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis es $(\frac{- 20}{2})^{2}=100$. Pero al agregar 100 dentro del paréntesis, debemos restar $2\times100$ fuera del paréntesis para no cambiar el valor de la función.
$y = 2(x^{2}-20x + 100)-2\times100 + 217$.

Paso 2: Escribir en forma vértice

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto: $y=2(x - 10)^{2}-200 + 217$.
Luego simplificamos: $y=2(x - 10)^{2}+17$.

Paso 3: Identificar el vértice

Para una función en forma vértice $y=a(x - h)^{2}+k$, el vértice es $(h,k)$. Entonces, para $y = 2(x - 10)^{2}+17$, el vértice es $(10,17)$.

Paso 4: Determinar si es máximo o mínimo

Como $a = 2>0$, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.

Paso 5: Interpretar el vértice en el contexto

En el contexto del problema, donde $x$ es el tiempo en segundos y $y$ es la altura en pies, el vértice $(10,17)$ significa que en $t = 10$ segundos, la altura del coche del rodillo - coaster es de 17 pies, que es la altura mínima alcanzada durante la parte del recorrido modelado por esta función.

Respuesta:

• Ecuación en forma vértice: $y=2(x - 10)^{2}+17$
• Vértice: $(10,17)$
• El vértice es un mínimo.
• Interpretación: A los 10 segundos, el coche del rodillo - coaster estará a una altura mínima de 17 pies.