Question

select the correct answer. consider the following equation. $5^{(-x)} + 7 = 2x + 4$ approximate the solution to the equation above using three iterations of successive approximation. use the graph below as a starting point. a. $x = \frac{25}{16}$ b. $x = \frac{27}{16}$ c. $x = \frac{13}{8}$ d. $x = \frac{7}{4}$

Explanation:

Step1: Identificar valor inicial

Del gráfico, la intersección está cerca de $x=1$, así que tomamos $x_0=1$ como valor inicial.

Step2: Reescribir la ecuación

Despejamos $x$ de la ecuación $5^{(-x)} + 7 = 2x + 4$:
$$5^{-x} = 2x - 3 \implies -x = \log_5(2x - 3) \implies x = -\log_5(2x - 3)$$

Step3: Primera iteración

Sustituimos $x_0=1$ en la fórmula reescrita:
$$x_1 = -\log_5(2(1) - 3) = -\log_5(-1)$$
No es válido, por lo que usamos la forma alternativa: despejamos $x$ de $2x = 5^{-x} + 3 \implies x = \frac{5^{-x} + 3}{2}$
Ahora calculamos $x_1$ con $x_0=1$:
$$x_1 = \frac{5^{-(1)} + 3}{2} = \frac{\frac{1}{5} + 3}{2} = \frac{\frac{16}{5}}{2} = \frac{8}{5} = 1.6$$

Step4: Segunda iteración

Sustituimos $x_1=1.6$ en la fórmula:
$$x_2 = \frac{5^{-(1.6)} + 3}{2}$$
Calculamos $5^{-1.6} = 5^{-\frac{8}{5}} = (5^{\frac{1}{5}})^{-8} \approx (1.3797)^{-8} \approx 0.109$
$$x_2 = \frac{0.109 + 3}{2} \approx \frac{3.109}{2} \approx 1.5545$$

Step5: Tercera iteración

Sustituimos $x_2\approx1.5545$ en la fórmula:
$$x_3 = \frac{5^{-(1.5545)} + 3}{2}$$
Calculamos $5^{-1.5545} = 5^{-\frac{3109}{2000}} \approx e^{-1.5545 \cdot \ln(5)} \approx e^{-1.5545 \cdot 1.6094} \approx e^{-2.502} \approx 0.0829$
$$x_3 = \frac{0.0829 + 3}{2} \approx \frac{3.0829}{2} \approx 1.5415$$
Convertimos a fracción: $1.5415 \approx \frac{25}{16} = 1.5625$, que es el valor más cercano.

Answer:

A. $x = \frac{25}{16}$