Question

solve each of the following equations by graphing. identify your solutions/roots/x-intercepts.

1. $y = x^2 - 4x - 5$
2. $y = x^2 + 2x + 1$
3. $y = x^2 - 5x + 6$
4. $y = x^2 + 4x + 7$

solve the following equations using the square root property. leave your answers in radical form when necessary.

1. $4x^2 - 7 = 57$
2. $-2x^2 + 11 = 1$
3. $5(x - 8)^2 = 45$

Explanation:

Parte 1: Ecuaciones por gráfica

---

5. $y = x^2 - 4x - 5$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 - 4x - 5$
$0$	$0^2 -4(0)-5=-5$
$2$	$2^2 -4(2)-5=-9$
$4$	$4^2 -4(4)-5=-5$
$5$	$5^2 -4(5)-5=0$

Paso 2: Graficar y encontrar intersecciones

La parábola corta el eje $x$ donde $y=0$.

Respuesta:

Soluciones: $x=-1$ y $x=5$

---

6. $y = x^2 + 2x + 1$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 + 2x +1$
$-2$	$(-2)^2 +2(-2)+1=1$
$-1$	$(-1)^2 +2(-1)+1=0$
$0$	$0^2 +2(0)+1=1$
$1$	$1^2 +2(1)+1=4$

Paso 2: Graficar y encontrar intersecciones

La parábola toca el eje $x$ en un solo punto (raíz doble).

Respuesta:

Soluciones: $x=-1$ (raíz doble)

---

7. $y = x^2 - 5x + 6$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 -5x +6$
$2$	$2^2 -5(2)+6=0$
$2.5$	$(2.5)^2 -5(2.5)+6=-0.25$
$3$	$3^2 -5(3)+6=0$
$5$	$5^2 -5(5)+6=6$

Paso 2: Graficar y encontrar intersecciones

La parábola corta el eje $x$ donde $y=0$.

Respuesta:

Soluciones: $x=2$ y $x=3$

---

8. $y = x^2 + 4x + 7$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 +4x +7$
$-2$	$(-2)^2 +4(-2)+7=3$
$0$	$0^2 +4(0)+7=7$
$1$	$1^2 +4(1)+7=12$
$2$	$2^2 +4(2)+7=19$

Paso 2: Graficar y verificar intersecciones

La parábola no corta el eje $x$ (todos los valores de $y$ son positivos).

Respuesta:

Soluciones: No hay soluciones reales

---

Parte 2: Propiedad de la raíz cuadrada

---

9. $4x^2 -7 = 57$

Explicación:

Paso 1: Isolar el término con $x^2$

$$4x^2 = 57 + 7$$
$$4x^2 = 64$$

Paso 2: Despejar $x^2$

$$x^2 = \frac{64}{4}$$
$$x^2 = 16$$

Paso 3: Aplicar propiedad de raíz cuadrada

$$x = \pm\sqrt{16}$$

Respuesta:

$x=4$ y $x=-4$

---

10. $-2x^2 +11 = 1$

Explicación:

Paso 1: Isolar el término con $x^2$

$$-2x^2 = 1 - 11$$
$$-2x^2 = -10$$

Paso 2: Despejar $x^2$

$$x^2 = \frac{-10}{-2}$$
$$x^2 = 5$$

Paso 3: Aplicar propiedad de raíz cuadrada

$$x = \pm\sqrt{5}$$

Respuesta:

$x=\sqrt{5}$ y $x=-\sqrt{5}$

---

11. $5(x-8)^2 = 45$

Explicación:

Paso 1: Isolar el término al cuadrado

$$(x-8)^2 = \frac{45}{5}$$
$$(x-8)^2 = 9$$

Paso 2: Aplicar propiedad de raíz cuadrada

$$x-8 = \pm\sqrt{9}$$
$$x-8 = \pm3$$

Paso 3: Despejar $x$

Para $x-8=3$: $x=3+8=11$
Para $x-8=-3$: $x=-3+8=5$

Respuesta:

$x=11$ y $x=5$

Answer:

Parte 1: Ecuaciones por gráfica

---

5. $y = x^2 - 4x - 5$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 - 4x - 5$
$0$	$0^2 -4(0)-5=-5$
$2$	$2^2 -4(2)-5=-9$
$4$	$4^2 -4(4)-5=-5$
$5$	$5^2 -4(5)-5=0$

Paso 2: Graficar y encontrar intersecciones

La parábola corta el eje $x$ donde $y=0$.

Respuesta:

Soluciones: $x=-1$ y $x=5$

---

6. $y = x^2 + 2x + 1$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 + 2x +1$
$-2$	$(-2)^2 +2(-2)+1=1$
$-1$	$(-1)^2 +2(-1)+1=0$
$0$	$0^2 +2(0)+1=1$
$1$	$1^2 +2(1)+1=4$

Paso 2: Graficar y encontrar intersecciones

La parábola toca el eje $x$ en un solo punto (raíz doble).

Respuesta:

Soluciones: $x=-1$ (raíz doble)

---

7. $y = x^2 - 5x + 6$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 -5x +6$
$2$	$2^2 -5(2)+6=0$
$2.5$	$(2.5)^2 -5(2.5)+6=-0.25$
$3$	$3^2 -5(3)+6=0$
$5$	$5^2 -5(5)+6=6$

Paso 2: Graficar y encontrar intersecciones

La parábola corta el eje $x$ donde $y=0$.

Respuesta:

Soluciones: $x=2$ y $x=3$

---

8. $y = x^2 + 4x + 7$

Explicación:

Paso 1: Crear tabla de valores

Elegimos valores de $x$ y calculamos $y$:

$x$	$y = x^2 +4x +7$
$-2$	$(-2)^2 +4(-2)+7=3$
$0$	$0^2 +4(0)+7=7$
$1$	$1^2 +4(1)+7=12$
$2$	$2^2 +4(2)+7=19$

Paso 2: Graficar y verificar intersecciones

La parábola no corta el eje $x$ (todos los valores de $y$ son positivos).

Respuesta:

Soluciones: No hay soluciones reales

---

Parte 2: Propiedad de la raíz cuadrada

---

9. $4x^2 -7 = 57$

Explicación:

Paso 1: Isolar el término con $x^2$

$$4x^2 = 57 + 7$$
$$4x^2 = 64$$

Paso 2: Despejar $x^2$

$$x^2 = \frac{64}{4}$$
$$x^2 = 16$$

Paso 3: Aplicar propiedad de raíz cuadrada

$$x = \pm\sqrt{16}$$

Respuesta:

$x=4$ y $x=-4$

---

10. $-2x^2 +11 = 1$

Explicación:

Paso 1: Isolar el término con $x^2$

$$-2x^2 = 1 - 11$$
$$-2x^2 = -10$$

Paso 2: Despejar $x^2$

$$x^2 = \frac{-10}{-2}$$
$$x^2 = 5$$

Paso 3: Aplicar propiedad de raíz cuadrada

$$x = \pm\sqrt{5}$$

Respuesta:

$x=\sqrt{5}$ y $x=-\sqrt{5}$

---

11. $5(x-8)^2 = 45$

Explicación:

Paso 1: Isolar el término al cuadrado

$$(x-8)^2 = \frac{45}{5}$$
$$(x-8)^2 = 9$$

Paso 2: Aplicar propiedad de raíz cuadrada

$$x-8 = \pm\sqrt{9}$$
$$x-8 = \pm3$$

Paso 3: Despejar $x$

Para $x-8=3$: $x=3+8=11$
Para $x-8=-3$: $x=-3+8=5$

Respuesta:

$x=11$ y $x=5$