5. use your calculator to help you sketch a graph of ( r(x) = (x - 2)^2 + 1 ) on the set of axes provided below. be as accurate as possible. notice, i provided a viewing window that you must use.

(a) determine the value of ( r(3) ) and label it on the graph that you provided.

(b) solve ( r(x) = 10 ) for ( x ). use the graph to explain your solution with a well - written sentence.

(c) solve ( r(x) = 0 ) for ( x ). use the graph to explain your solution with a well - written sentence.

(d) on the same set of axes sketch the graph of ( t(x) = x^2 - 4x + 5 ). what can you conclude? please use a well - written sentence.

Question

5. use your calculator to help you sketch a graph of ( r(x) = (x - 2)^2 + 1 ) on the set of axes provided below. be as accurate as possible. notice, i provided a viewing window that you must use.

(a) determine the value of ( r(3) ) and label it on the graph that you provided.

(b) solve ( r(x) = 10 ) for ( x ). use the graph to explain your solution with a well - written sentence.

(c) solve ( r(x) = 0 ) for ( x ). use the graph to explain your solution with a well - written sentence.

(d) on the same set of axes sketch the graph of ( t(x) = x^2 - 4x + 5 ). what can you conclude? please use a well - written sentence.

Accepted Answer

### (a) Determinar el valor de $ r(3) $
# Explanation:
## Step 1: Sustituir $ x = 3 $ en la función $ r(x) $
La función es $ r(x)=(x - 2)^2+1 $. Sustituimos $ x = 3 $:
$ r(3)=(3 - 2)^2+1 $
## Step 2: Calcular el valor
Primero, $ 3 - 2 = 1 $. Luego, $ 1^2=1 $. Entonces, $ r(3)=1 + 1=2 $
# Answer:
El valor de $ r(3) $ es $ 2 $.

### (b) Resolver $ r(x)=10 $ para $ x $
# Explanation:
## Step 1: Sustituir la función y resolver la ecuación
Sustituimos $ r(x)=(x - 2)^2+1 $ en $ r(x)=10 $:
$ (x - 2)^2+1 = 10 $
Restamos 1 de ambos lados: $ (x - 2)^2=9 $
## Step 2: Despejar $ x $
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados: $ x - 2=\pm3 $
Entonces, $ x - 2 = 3 $ o $ x - 2=-3 $
Para $ x - 2 = 3 $: $ x=3 + 2=5 $
Para $ x - 2=-3 $: $ x=-3 + 2=-1 $
## Explicación con la gráfica:
Al observar la gráfica de $ r(x)=(x - 2)^2+1 $ (una parábola que abre hacia arriba con vértice en $ (2,1) $), la línea horizontal $ y = 10 $ intersecta la parábola en dos puntos. Al encontrar las $ x $-coordenadas de estos puntos de intersección, vemos que son $ x=-1 $ y $ x = 5 $, lo que coincide con la solución algebraica.
# Answer:
Las soluciones de $ r(x)=10 $ son $ x=-1 $ y $ x = 5 $. La gráfica de $ r(x) $ (una parábola) intersecta la línea $ y = 10 $ en $ x=-1 $ y $ x = 5 $, por lo que esos son los valores de $ x $ que satisfacen $ r(x)=10 $.

### (c) Resolver $ r(x)=0 $ para $ x $
# Explanation:
## Step 1: Sustituir la función y analizar la ecuación
Sustituimos $ r(x)=(x - 2)^2+1 $ en $ r(x)=0 $:
$ (x - 2)^2+1 = 0 $
Restamos 1 de ambos lados: $ (x - 2)^2=-1 $
## Step 2: Analizar la posibilidad de la ecuación
El cuadrado de un número real es siempre no negativo, es decir, $ (x - 2)^2\geq0 $ para cualquier $ x $ real. Entonces, $ (x - 2)^2=-1 $ no tiene solución real, porque el lado izquierdo es no negativo y el derecho es negativo.
## Explicación con la gráfica:
La gráfica de $ r(x)=(x - 2)^2+1 $ es una parábola que abre hacia arriba con vértice en $ (2,1) $, lo que significa que la parábola está por encima del eje $ x $ (ya que el vértice tiene $ y $-coordenada 1, que es positiva). Por lo tanto, la gráfica no intersecta el eje $ x $, lo que implica que no hay soluciones reales para $ r(x)=0 $.
# Answer:
La ecuación $ r(x)=0 $ no tiene soluciones reales, porque la gráfica de $ r(x) $ (una parábola con vértice en $ (2,1) $) no intersecta el eje $ x $ (está completamente por encima del eje $ x $).

### (d) Trazar la gráfica de $ t(x)=x^2-4x + 5 $ y concluir
# Explanation:
## Step 1: Simplificar $ t(x) $ para identificar su forma
Completamos el cuadrado en $ t(x)=x^2-4x + 5 $:
$ t(x)=x^2-4x+4 + 1=(x - 2)^2+1 $
## Step 2: Comparar con $ r(x) $
Notamos que $ r(x)=(x - 2)^2+1 $ y $ t(x)=(x - 2)^2+1 $, por lo tanto, $ r(x)=t(x) $. Esto significa que las gráficas de $ r(x) $ y $ t(x) $ son idénticas, ya que son la misma función.
# Answer:
Al trazar la gráfica de $ t(x)=x^2-4x + 5 $, se observa que coincide exactamente con la gráfica de $ r(x)=(x - 2)^2+1 $, lo que nos permite concluir que $ r(x) $ y $ t(x) $ son la misma función (ya que $ t(x) $ se simplifica a $ (x - 2)^2+1 $, igual que $ r(x) $).

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Question

Explanation:

(a) Determinar el valor de \( r(3) \)

Step 1: Sustituir \( x = 3 \) en la función \( r(x) \)

Step 2: Calcular el valor

Step 1: Sustituir la función y resolver la ecuación

Step 2: Despejar \( x \)

Explicación con la gráfica:

Step 1: Sustituir la función y analizar la ecuación

Step 2: Analizar la posibilidad de la ecuación

Explicación con la gráfica:

Answer:

(b) Resolver \( r(x)=10 \) para \( x \)