Question

5 which graph of a hyperbola represents the equation \\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\\)

Explanation:

Step1: Identificar la forma estándar

La ecuación $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ corresponde a la forma estándar de una hipérbola horizontal:
$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

Step2: Determinar el centro

Comparando con la forma estándar, $h=0$ y $k=0$, así que el centro es $(h,k)=(0,0)$.

Step3: Calcular $a$ y $b$

$a^2=9 \implies a=3$, $b^2=4 \implies b=2$.

Step4: Encontrar vértices

Para hipérbola horizontal, los vértices son $(h\pm a, k) = (0\pm3, 0)$, es decir $(3,0)$ y $(-3,0)$.

Step5: Hallar asíntotas

Las asíntotas de esta hipérbola son:
$$y = k \pm \frac{b}{a}(x-h)$$
Sustituyendo valores:
$$y = 0 \pm \frac{2}{3}(x-0) \implies y = \frac{2}{3}x \text{ y } y = -\frac{2}{3}x$$

Step6: Definir la orientación

Como el término con $x^2$ es positivo, la hipérbola se abre hacia la izquierda y la derecha.

Answer:

La gráfica es una hipérbola que abre hacia la izquierda y la derecha, con centro en $(0,0)$, vértices en $(3,0)$ y $(-3,0)$, así asíntotas $y = \frac{2}{3}x$ y $y = -\frac{2}{3}x$.