Question

are you ready for more? pretend you are stuck in a coordinate plane. you can only take vertical and horizontal steps that are one unit long. 1. how many ways are there to get from the point (-3,2) to (-1,-1) if you will only step down and to the right? 10 2. how many ways are there to get from the point (-1,-2) to (4,0) if you can only step up and to the right? 21 3. make up some more problems like this and see what patterns you notice. lesson 11 summary just as the number line can be extended to the left to include negative numbers, the x - and y - axis of a coordinate plane can also be extended to include negative values. the ordered pair (x, y) can have negative x - and y - values. for b = (-4,1), the x - value of -4 tells us that the point is 4 units to the left of the y - axis. the y - value of 1 tells us that the point is one unit above the x - axis. the same reasoning applies to the points a and c. the x - and y - coordinates for point a are positive, so a is to the right of the y - axis and above the x - axis. the x - and y - coordinates for point c are negative, so c is to the left of the y - axis and below the x - axis. glossary • quadrant

Explanation:

Step1: Calcular movimientos en x e y para el primer problema

Para ir de $(-3,2)$ a $(-1,-1)$:
El movimiento en $x$ es $(- 1)-(-3)=2$ (2 pasos a la derecha).
El movimiento en $y$ es $(-1) - 2=-3$ (3 pasos hacia abajo).
El total de pasos es $2 + 3=5$.
El número de maneras de hacer estos pasos es dado por la combinatoria $\binom{n}{k}$, donde $n$ es el total de pasos y $k$ es el número de pasos en una dirección. Aquí, $n = 5$ y $k = 2$ (o $k = 3$, da lo mismo).
$\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$.

Step2: Calcular movimientos en x e y para el segundo problema

Para ir de $(-1,-2)$ a $(4,0)$:
El movimiento en $x$ es $4-(-1)=5$ (5 pasos a la derecha).
El movimiento en $y$ es $0-(-2)=2$ (2 pasos hacia arriba).
El total de pasos es $5 + 2=7$.
El número de maneras de hacer estos pasos es $\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!(7 - 2)!}=\frac{7!}{2!5!}=\frac{7\times6}{2\times1}=21$.

Answer:

1. 10
2. 21
3. Por ejemplo, para ir de $(0,0)$ a $(3,2)$:

El movimiento en $x$ es $3$ (3 pasos a la derecha), el movimiento en $y$ es $2$ (2 pasos hacia arriba), el total de pasos es $3+2 = 5$.
El número de maneras es $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=10$.
Se puede notar que si se tiene que ir de $(x_1,y_1)$ a $(x_2,y_2)$ y solo se pueden hacer pasos hacia la derecha y hacia arriba, el número de pasos en $x$ es $x_2 - x_1$ (llamémoslo $a$), el número de pasos en $y$ es $y_2 - y_1$ (llamémoslo $b$), el total de pasos es $n=a + b$ y el número de maneras de hacer los pasos es $\binom{n}{a}=\binom{n}{b}$.