15) let θ be an angle in standard position. name the quadrant in which θ lies if cotθ 0 and secθ

Question

15) let θ be an angle in standard position. name the quadrant in which θ lies if cotθ > 0 and secθ < 0.
16) find the reference angle for an angle that measures $\frac{-25pi}{6}$.
17) find sec495° =?
18) find tan$(\frac{-17pi}{6})$ =?
19) show work needed to graph one period of y = 3sin$(2x-\frac{pi}{2})$
20) show work needed to graph two periods of y = 2sec(x + $pi$)
21) find cos$^{-1}$(cos$\frac{4pi}{3}$) =?
22) find cot(sin$^{-1}\frac{5}{13}$) =?
23) distance: a passenger in an airplane at an altitude of 10 kilometers sees two towns directly to the east of the plane. the angles of depression to the towns are 28° and 55° (see figure). how far apart are the towns?

Accepted Answer

### 15)
# Explanation:
## Paso 1: Recordar las propiedades de las funciones trigonométricas en los cuadrantes
El cotangente $\cot	heta=\frac{\cos	heta}{\sin	heta}$ es positivo cuando $\cos	heta$ y $\sin	heta$ tienen el mismo signo (es decir, en el primer y tercer cuadrante). El secante $\sec	heta = \frac{1}{\cos	heta}$ es negativo cuando $\cos	heta<0$ (es decir, en el segundo y tercer cuadrante).
## Paso 2: Determinar el cuadrante
Como $\cot	heta> 0$ y $\sec	heta<0$, el ángulo $	heta$ debe estar en el tercer cuadrante, ya que es el único cuadrante donde $\cos	heta<0$ y $\sin	heta$ y $\cos	heta$ tienen el mismo signo.
# Respuesta:
Tercer cuadrante

### 16)
# Explanation:
## Paso 1: Convertir el ángulo negativo a un ángulo positivo
Sumamos múltiplos de $2\pi$ al ángulo $	heta =-\frac{25\pi}{6}$. Sabemos que $2\pi=\frac{12\pi}{6}$. Entonces, $-\frac{25\pi}{6}+4	imes\frac{12\pi}{6}=-\frac{25\pi}{6}+\frac{48\pi}{6}=\frac{23\pi}{6}$. También, $\frac{23\pi}{6}= 4\pi-\frac{\pi}{6}$.
## Paso 2: Encontrar el ángulo de referencia
El ángulo $\frac{23\pi}{6}$ está en el cuarto cuadrante. El ángulo de referencia $	heta_{r}$ para un ángulo $	heta$ en el cuarto cuadrante es dado por $	heta_{r}=2\pi - 	heta$. Entonces, $	heta_{r}=\frac{\pi}{6}$.
# Respuesta:
$\frac{\pi}{6}$

### 17)
# Explanation:
## Paso 1: Simplificar el ángulo
Sabemos que $495^{\circ}=360^{\circ} + 135^{\circ}$. Entonces, $\sec495^{\circ}=\sec(360^{\circ}+ 135^{\circ})$. Como la función $\sec x$ es periódica con período $360^{\circ}$, $\sec(360^{\circ}+135^{\circ})=\sec135^{\circ}$.
## Paso 2: Calcular el valor de $\sec135^{\circ}$
Sabemos que $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, y $\cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Entonces, $\sec135^{\circ}=\frac{1}{\cos135^{\circ}}=-\sqrt{2}$.
# Respuesta:
$-\sqrt{2}$

### 18)
# Explanation:
## Paso 1: Simplificar el ángulo
Sumamos múltiplos de $2\pi$ al ángulo $	heta=-\frac{17\pi}{6}$. Sabemos que $2\pi = \frac{12\pi}{6}$. Entonces, $-\frac{17\pi}{6}+3	imes\frac{12\pi}{6}=-\frac{17\pi}{6}+\frac{36\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}$. También, $\frac{19\pi}{6}=2\pi+\frac{7\pi}{6}$.
## Paso 2: Encontrar el valor de la tangente
Sabemos que $	an x$ es periódica con período $\pi$, y $	an\frac{7\pi}{6}=	an(\pi+\frac{\pi}{6})$. Como $	an(A + \pi)=	an A$, entonces $	an\frac{7\pi}{6}=	an\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
# Respuesta:
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

### 19)
# Explanation:
## Paso 1: Identificar la forma general de la función senoidal
La función $y = A\sin(Bx - C)$ tiene amplitud $|A|$, período $T=\frac{2\pi}{B}$, y fase de desplazamiento $\frac{C}{B}$. Para la función $y = 3\sin(2x-\frac{\pi}{2})$, $A = 3$, $B = 2$ y $C=\frac{\pi}{2}$.
## Paso 2: Calcular el período
El período $T=\frac{2\pi}{B}=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
## Paso 3: Encontrar los puntos clave
Para una función senoidal $y=\sin u$, los puntos clave se obtienen al resolver $u = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$. Aquí, $u = 2x-\frac{\pi}{2}$.
- Cuando $2x-\frac{\pi}{2}=0$, $x=\frac{\pi}{4}$.
- Cuando $2x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{\pi}{2}$.
- Cuando $2x-\frac{\pi}{2}=\pi$, $x=\frac{3\pi}{4}$.
- Cuando $2x-\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$, $x=\pi$.
- Cuando $2x-\frac{\pi}{2}=2\pi$, $x=\frac{5\pi}{4}$.
Evaluamos $y = 3\sin(2x-\frac{\pi}{2})$ en estos puntos para obtener los valores de $y$ y luego trazar la curva.
# Respuesta:
Calcular los puntos clave como se explicó y trazar la curva de la función senoidal con amplitud 3 y período $\pi$.

### 20)
# Explanation:
## Paso 1: Identificar la forma general de la función secante
La función $y = A\sec(Bx - C)$ tiene período $T=\frac{2\pi}{|B|}$. Para la función $y = 2\sec(x+\pi)$, $A = 2$, $B = 1$ y $C=-\pi$. El período $T = 2\pi$.
## Paso 2: Encontrar los puntos clave
La función $y=\sec x$ tiene asíntotas verticales donde $\cos x = 0$. Para $y = 2\sec(x+\pi)$, las asíntotas verticales se obtienen al resolver $\cos(x+\pi)=0$. Sabemos que $\cos(x+\pi)=-\cos x$. Entonces, $-\cos x=0$, es decir $x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
Evaluamos la función en puntos entre las asíntotas verticales para trazar dos períodos de la función.
# Respuesta:
Encontrar las asíntotas verticales y puntos entre ellas para trazar dos períodos de la función $y = 2\sec(x+\pi)$ con período $2\pi$.

### 21)
# Explanation:
## Paso 1: Recordar la propiedad de la función inversa del coseno
La función $y=\cos^{-1}(x)$ tiene rango $[0,\pi]$. Sabemos que $\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}$. Y $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ y $\frac{2\pi}{3}\in[0,\pi]$.
## Paso 2: Encontrar el valor
Entonces, $\cos^{-1}(\cos\frac{4\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}$.
# Respuesta:
$\frac{2\pi}{3}$

### 22)
# Explanation:
## Paso 1: Definir un triángulo rectángulo
Sea $\alpha=\sin^{-1}\frac{5}{13}$, entonces $\sin\alpha=\frac{5}{13}$. Si consideramos un triángulo rectángulo donde el lado opuesto al ángulo $\alpha$ tiene longitud $a = 5$ y la hipotenusa $c = 13$, entonces, por el teorema de Pitágoras, el lado adyacente $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$.
## Paso 2: Calcular $\cot\alpha$
Sabemos que $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{b}{a}$. Entonces, $\cot(\sin^{-1}\frac{5}{13})=\frac{12}{5}$.
# Respuesta:
$\frac{12}{5}$

### 23)
# Explanation:
## Paso 1: Establecer ecuaciones trigonométricas
Sea $d_{1}$ la distancia horizontal al primer pueblo y $d_{2}$ la distancia horizontal al segundo pueblo. Sabemos que $	an28^{\circ}=\frac{10}{d_{1}}$ y $	an55^{\circ}=\frac{10}{d_{2}}$. Entonces, $d_{1}=\frac{10}{	an28^{\circ}}$ y $d_{2}=\frac{10}{	an55^{\circ}}$.
## Paso 2: Calcular la distancia entre los pueblos
La distancia entre los pueblos $D=d_{1}-d_{2}$.
$d_{1}=\frac{10}{	an28^{\circ}}\approx\frac{10}{0.5317}\approx18.8$.
$d_{2}=\frac{10}{	an55^{\circ}}\approx\frac{10}{1.4281}\approx7$.
$D\approx18.8 - 7=11.8$ kilómetros.
# Respuesta:
Aproximadamente 11.8 kilómetros.

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QUESTION IMAGE

Question

Explanation:

15)

Paso 1: Recordar las propiedades de las funciones trigonométricas en los cuadrantes

Paso 2: Determinar el cuadrante

Respuesta:

16)

Paso 1: Convertir el ángulo negativo a un ángulo positivo

Paso 2: Encontrar el ángulo de referencia

Respuesta:

17)

Paso 1: Simplificar el ángulo

Paso 2: Calcular el valor de $\sec135^{\circ}$

Respuesta:

18)

Answer:

Paso 1: Establecer ecuaciones trigonométricas

Paso 2: Calcular la distancia entre los pueblos

Respuesta: