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Question
check your understanding
- in the triangle shown, pq = 5.6, pr = 6.1, and qr = 5.2. without a protractor, put the angles in order from smallest to greatest.
- find the value of x + y.
- explain why △ghk is isosceles.
- prove that the hypotenuse is always the longest side of a right triangle. the rubric shown will help you make sure you have included all necessary elements. • uses definition of right triangle • explains why ∠a and ∠b are each less than 90° • locates longest side using the side - angle relationship • uses definition of hypotenuse
1.
Explicación:
Paso 1: Aplicar la relación lado - ángulo
En un triángulo, el ángulo más pequeño está enfrente del lado más corto y el ángulo más grande está enfrente del lado más largo.
Dado que $QR = 5.2$, $PQ=5.6$ y $PR = 6.1$, entonces el ángulo enfrente de $QR$ es $\angle P$, el ángulo enfrente de $PQ$ es $\angle R$ y el ángulo enfrente de $PR$ es $\angle Q$.
Paso 2: Ordenar los ángulos
Entonces, ordenados de menor a mayor son $\angle P,\angle R,\angle Q$.
Respuesta:
$\angle P,\angle R,\angle Q$
2.
Explicación:
Paso 1: Usar la propiedad de triángulos isósceles
En el triángulo dado, los lados marcados con barras iguales indican que es un triángulo isósceles. Entonces, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Entonces, $3y + 9=4y - 8$.
Resolviendo para $y$:
$4y-3y=9 + 8$, entonces $y = 17$.
Paso 2: Usar la suma de ángulos internos de un triángulo
La suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^{\circ}$. Entonces, $(3y + 9)+(4y - 8)+5x=180$.
Sustituyendo $y = 17$:
$(3\times17 + 9)+(4\times17 - 8)+5x=180$
$(51+9)+(68 - 8)+5x=180$
$60+60+5x=180$
$120+5x=180$
$5x=180 - 120$
$5x=60$
$x = 12$.
Paso 3: Calcular $x + y$
$x + y=12+17=29$.
Respuesta:
$29$
3.
Explicación:
Paso 1: Encontrar $\angle GKH$
$\angle GKH$ y el ángulo de $68^{\circ}$ son ángulos opuestos por el vértice, entonces $\angle GKH=68^{\circ}$.
Paso 2: Encontrar $\angle HGK$
Usando la suma de ángulos internos de un triángulo en $\triangle GHK$, sabemos que la suma de los ángulos internos es $180^{\circ}$. Dado $\angle GHK = 56^{\circ}$ y $\angle GKH=68^{\circ}$.
$\angle HGK=180-(56 + 68)=180 - 124=56^{\circ}$.
Paso 3: Concluir que es isósceles
Como $\angle GHK=\angle HGK = 56^{\circ}$, entonces los lados opuestos a estos ángulos, es decir, $GK$ y $HK$ son iguales y $\triangle GHK$ es isósceles.
Respuesta:
Debido a que $\angle GHK=\angle HGK = 56^{\circ}$, los lados opuestos a estos ángulos son iguales y el triángulo es isósceles.
4.
Explicación:
Paso 1: Definir triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de $90^{\circ}$. En $\triangle ABC$ con $\angle C = 90^{\circ}$, los ángulos $\angle A$ y $\angle B$ son agudos (menores que $90^{\circ}$) porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^{\circ}$ y $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$, entonces $\angle A+\angle B=180 - 90=90^{\circ}$.
Paso 2: Usar la relación lado - ángulo
En un triángulo, el lado más largo está enfrente del ángulo más grande. Dado que $\angle C = 90^{\circ}$ es el ángulo más grande en un triángulo rectángulo, el lado enfrente de $\angle C$, que es el lado $c$ (hipotenusa), es el lado más largo.
Paso 3: Definir hipotenusa
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Y por la relación lado - ángulo, siempre es el lado más largo.
Respuesta:
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^{\circ}$. Los otros dos ángulos son menores que $90^{\circ}$. Dado que en un triángulo el lado más largo está enfrente del ángulo más grande y la hipotenusa está enfrente del ángulo recto (el ángulo más grande en un triángulo rectángulo), entonces la hipotenusa es siempre el lado más largo.
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1.
Explicación:
Paso 1: Aplicar la relación lado - ángulo
En un triángulo, el ángulo más pequeño está enfrente del lado más corto y el ángulo más grande está enfrente del lado más largo.
Dado que $QR = 5.2$, $PQ=5.6$ y $PR = 6.1$, entonces el ángulo enfrente de $QR$ es $\angle P$, el ángulo enfrente de $PQ$ es $\angle R$ y el ángulo enfrente de $PR$ es $\angle Q$.
Paso 2: Ordenar los ángulos
Entonces, ordenados de menor a mayor son $\angle P,\angle R,\angle Q$.
Respuesta:
$\angle P,\angle R,\angle Q$
2.
Explicación:
Paso 1: Usar la propiedad de triángulos isósceles
En el triángulo dado, los lados marcados con barras iguales indican que es un triángulo isósceles. Entonces, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Entonces, $3y + 9=4y - 8$.
Resolviendo para $y$:
$4y-3y=9 + 8$, entonces $y = 17$.
Paso 2: Usar la suma de ángulos internos de un triángulo
La suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^{\circ}$. Entonces, $(3y + 9)+(4y - 8)+5x=180$.
Sustituyendo $y = 17$:
$(3\times17 + 9)+(4\times17 - 8)+5x=180$
$(51+9)+(68 - 8)+5x=180$
$60+60+5x=180$
$120+5x=180$
$5x=180 - 120$
$5x=60$
$x = 12$.
Paso 3: Calcular $x + y$
$x + y=12+17=29$.
Respuesta:
$29$
3.
Explicación:
Paso 1: Encontrar $\angle GKH$
$\angle GKH$ y el ángulo de $68^{\circ}$ son ángulos opuestos por el vértice, entonces $\angle GKH=68^{\circ}$.
Paso 2: Encontrar $\angle HGK$
Usando la suma de ángulos internos de un triángulo en $\triangle GHK$, sabemos que la suma de los ángulos internos es $180^{\circ}$. Dado $\angle GHK = 56^{\circ}$ y $\angle GKH=68^{\circ}$.
$\angle HGK=180-(56 + 68)=180 - 124=56^{\circ}$.
Paso 3: Concluir que es isósceles
Como $\angle GHK=\angle HGK = 56^{\circ}$, entonces los lados opuestos a estos ángulos, es decir, $GK$ y $HK$ son iguales y $\triangle GHK$ es isósceles.
Respuesta:
Debido a que $\angle GHK=\angle HGK = 56^{\circ}$, los lados opuestos a estos ángulos son iguales y el triángulo es isósceles.
4.
Explicación:
Paso 1: Definir triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de $90^{\circ}$. En $\triangle ABC$ con $\angle C = 90^{\circ}$, los ángulos $\angle A$ y $\angle B$ son agudos (menores que $90^{\circ}$) porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^{\circ}$ y $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$, entonces $\angle A+\angle B=180 - 90=90^{\circ}$.
Paso 2: Usar la relación lado - ángulo
En un triángulo, el lado más largo está enfrente del ángulo más grande. Dado que $\angle C = 90^{\circ}$ es el ángulo más grande en un triángulo rectángulo, el lado enfrente de $\angle C$, que es el lado $c$ (hipotenusa), es el lado más largo.
Paso 3: Definir hipotenusa
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Y por la relación lado - ángulo, siempre es el lado más largo.
Respuesta:
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^{\circ}$. Los otros dos ángulos son menores que $90^{\circ}$. Dado que en un triángulo el lado más largo está enfrente del ángulo más grande y la hipotenusa está enfrente del ángulo recto (el ángulo más grande en un triángulo rectángulo), entonces la hipotenusa es siempre el lado más largo.