Question

1. determine the area of the shaded region. all circles have the same radius.

Explanation:

Explicación:

Paso 1: Encontrar el área del hexágono regular formado por los centros de los círculos

Los centros de los seis círculos forman un hexágono regular. El lado del hexágono regular es igual al doble del radio de un círculo. Dado que el radio \(r = 10\) pulgadas, el lado \(a = 20\) pulgadas.
El área de un hexágono regular se calcula con la fórmula \(A_{hexagono}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\). Sustituyendo \(a = 20\) pulgadas, tenemos \(A_{hexagono}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times(20)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times400 = 600\sqrt{3}\text{ pulgadas}^2\approx600\times1.732 = 1039.2\text{ pulgadas}^2\).

Paso 2: Encontrar el área total de los seis círculos

El área de un solo círculo se calcula con la fórmula \(A_{circulo}=\pi r^{2}\), con \(r = 10\) pulgadas. Entonces \(A_{circulo}=\pi\times(10)^{2}=100\pi\text{ pulgadas}^2\).
El área total de los seis círculos es \(A_{total - circulos}=6\times100\pi = 600\pi\text{ pulgadas}^2\approx600\times3.1416= 1884.96\text{ pulgadas}^2\).

Paso 3: Encontrar el área de la región sombreada

La región sombreada se obtiene restando la suma de las áreas de los sectores circulares interiores al hexágono de la área del hexágono. Los seis sectores circulares en el hexágono forman exactamente dos círculos completos (ya que la suma de los ángulos centrales de los sectores es \(360^{\circ}\times2\)).
El área de dos círculos es \(A_{2 - circulos}=2\times100\pi = 200\pi\text{ pulgadas}^2\approx200\times3.1416 = 628.32\text{ pulgadas}^2\).
El área de la región sombreada \(A = A_{hexagono}-A_{2 - circulos}\).
Sustituyendo los valores, \(A=600\sqrt{3}- 200\pi\).
\(A\approx1039.2 - 628.32=410.88\text{ pulgadas}^2\).

Respuesta:

\(600\sqrt{3}-200\pi\approx410.88\text{ pulgadas}^2\)

Answer:

Explicación:

Paso 1: Encontrar el área del hexágono regular formado por los centros de los círculos

Los centros de los seis círculos forman un hexágono regular. El lado del hexágono regular es igual al doble del radio de un círculo. Dado que el radio \(r = 10\) pulgadas, el lado \(a = 20\) pulgadas.
El área de un hexágono regular se calcula con la fórmula \(A_{hexagono}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\). Sustituyendo \(a = 20\) pulgadas, tenemos \(A_{hexagono}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times(20)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times400 = 600\sqrt{3}\text{ pulgadas}^2\approx600\times1.732 = 1039.2\text{ pulgadas}^2\).

Paso 2: Encontrar el área total de los seis círculos

El área de un solo círculo se calcula con la fórmula \(A_{circulo}=\pi r^{2}\), con \(r = 10\) pulgadas. Entonces \(A_{circulo}=\pi\times(10)^{2}=100\pi\text{ pulgadas}^2\).
El área total de los seis círculos es \(A_{total - circulos}=6\times100\pi = 600\pi\text{ pulgadas}^2\approx600\times3.1416= 1884.96\text{ pulgadas}^2\).

Paso 3: Encontrar el área de la región sombreada

La región sombreada se obtiene restando la suma de las áreas de los sectores circulares interiores al hexágono de la área del hexágono. Los seis sectores circulares en el hexágono forman exactamente dos círculos completos (ya que la suma de los ángulos centrales de los sectores es \(360^{\circ}\times2\)).
El área de dos círculos es \(A_{2 - circulos}=2\times100\pi = 200\pi\text{ pulgadas}^2\approx200\times3.1416 = 628.32\text{ pulgadas}^2\).
El área de la región sombreada \(A = A_{hexagono}-A_{2 - circulos}\).
Sustituyendo los valores, \(A=600\sqrt{3}- 200\pi\).
\(A\approx1039.2 - 628.32=410.88\text{ pulgadas}^2\).

Respuesta:

\(600\sqrt{3}-200\pi\approx410.88\text{ pulgadas}^2\)