Question

1. a farmer has 300 ft of fencing and wants to build a rectangular pen against a barn (so only 3 sides require fencing). let x = side perpendicular to the barn, and y = side parallel to the barn.

(a) write an equation for the perimeter constraint.
(b) write an equation for the area a(x) in terms of x.
(c) find the dimensions that maximize the area and the maximum area.
(d) interpret what the dimensions mean in context.

Explanation:

Explicación:

Paso1: Escribir la ecuación de perímetro

Dado que solo se necesitan cercas para tres lados y la longitud total de la cerca es de 300 pies, yendo de x + x+ y = 300, la ecuación del perímetro es 2x + y=300.

Paso2: Expresar y en términos de x

Despejando y de la ecuación del perímetro 2x + y = 300, obtenemos y = 300 - 2x.

Paso3: Escribir la ecuación de área

El área A de un rectángulo es A=xy. Sustituyendo y = 300 - 2x en la ecuación de área, tenemos A(x)=x(300 - 2x)=300x - 2x².

Paso4: Encontrar el máximo de la función de área

La función A(x)=300x - 2x² es una función cuadrática de la forma ax²+bx + c con a=-2, b = 300 y c = 0. El vértice de una función cuadrática y=ax²+bx + c se encuentra en x=-b/(2a). Entonces, x=-300/(2*(-2)) = 75.

Paso5: Encontrar el valor de y

Sustituyendo x = 75 en la ecuación y = 300 - 2x, obtenemos y=300-2*75=150.

Paso6: Encontrar el área máxima

Sustituyendo x = 75 en la función A(x), tenemos A(75)=75*150 = 11250 pies².

Paso7: Interpretar las dimensiones

El lado perpendicular a la granja (x) debe tener 75 pies y el lado paralelo a la granja (y) debe tener 150 pies para maximizar el área del corral.

Respuesta:

(a) 2x + y = 300
(b) A(x)=300x - 2x²
(c) Las dimensiones son x = 75 pies y y = 150 pies, y el área máxima es 11250 pies².
(d) Un lado perpendicular a la granja debe medir 75 pies y el lado paralelo a la granja debe medir 150 pies para obtener el área más grande posible para el corral rectangular construido con 300 pies de cerca y una granja que actúa como un lado del rectángulo.

Answer:

Explicación:

Paso1: Escribir la ecuación de perímetro

Dado que solo se necesitan cercas para tres lados y la longitud total de la cerca es de 300 pies, yendo de x + x+ y = 300, la ecuación del perímetro es 2x + y=300.

Paso2: Expresar y en términos de x

Despejando y de la ecuación del perímetro 2x + y = 300, obtenemos y = 300 - 2x.

Paso3: Escribir la ecuación de área

El área A de un rectángulo es A=xy. Sustituyendo y = 300 - 2x en la ecuación de área, tenemos A(x)=x(300 - 2x)=300x - 2x².

Paso4: Encontrar el máximo de la función de área

La función A(x)=300x - 2x² es una función cuadrática de la forma ax²+bx + c con a=-2, b = 300 y c = 0. El vértice de una función cuadrática y=ax²+bx + c se encuentra en x=-b/(2a). Entonces, x=-300/(2*(-2)) = 75.

Paso5: Encontrar el valor de y

Sustituyendo x = 75 en la ecuación y = 300 - 2x, obtenemos y=300-2*75=150.

Paso6: Encontrar el área máxima

Sustituyendo x = 75 en la función A(x), tenemos A(75)=75*150 = 11250 pies².

Paso7: Interpretar las dimensiones

El lado perpendicular a la granja (x) debe tener 75 pies y el lado paralelo a la granja (y) debe tener 150 pies para maximizar el área del corral.

Respuesta:

(a) 2x + y = 300
(b) A(x)=300x - 2x²
(c) Las dimensiones son x = 75 pies y y = 150 pies, y el área máxima es 11250 pies².
(d) Un lado perpendicular a la granja debe medir 75 pies y el lado paralelo a la granja debe medir 150 pies para obtener el área más grande posible para el corral rectangular construido con 300 pies de cerca y una granja que actúa como un lado del rectángulo.