Question

how many solutions exist to the equation ½×½ = ½²x - ½? a 0 b 1 c 2 d 3

Explanation:

Step1: Simplificar la ecuación

La ecuación dada es $\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}2x - \frac{1}{2}$ (suponiendo que la escritura sea $\frac{1}{2}\sqrt{x}=\frac{1}{2}(2x)-\frac{1}{2}$ para claridad). Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar los denominadores: $\sqrt{x}=2x - 1$.

Step2: Hacer un cambio de variable

Sea $y = \sqrt{x}$, donde $y\geq0$ (por la definición de raíz cuadrada). Entonces la ecuación se convierte en $y = 2y^{2}-1$. Reordenando: $2y^{2}-y - 1 = 0$.

Step3: Resolver la ecuación cuadrática

Usamos la fórmula cuadrática para $ay^{2}+by + c = 0$: $y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. Aquí, $a = 2$, $b=-1$, $c = -1$. Entonces:
$$y=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(2)(-1)}}{2(2)}=\frac{1\pm\sqrt{1 + 8}}{4}=\frac{1\pm3}{4}$$
Las soluciones son $y=\frac{1 + 3}{4}=1$ y $y=\frac{1 - 3}{4}=-\frac{1}{2}$.

Step4: Verificar las soluciones

Como $y=\sqrt{x}\geq0$, descartamos $y = -\frac{1}{2}$. Para $y = 1$, $\sqrt{x}=1\implies x = 1$. Verificamos en la ecuación original: $\frac{1}{2}\sqrt{1}=\frac{1}{2}(2(1))-\frac{1}{2}\implies\frac{1}{2}=1 - \frac{1}{2}\implies\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, que es verdadero.

Answer:

B. 1