Question

la table de valeurs ci - dessous représente la profondeur ( h(t) ) (en m) dun tunnel en fonction du temps ( t ) (en semaines) écoulé depuis le début des travaux de forage.\
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temps (semaines)	2	4	6	9	12	14	\
---	---	---	---	---	---	---	\
profondeur (m)	0	35	60	78.75	75	60	\

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sachant que la profondeur du tunnel varie selon une fonction du second degré, déterminez les moments où elle est de 50 m.\
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(des calculs manuscrits suivent : ( f(x)=a(x - 9)^2+78.75 ), ( 60=a(6 - 9)^2+78.75 ), ( \frac{- 18.75}{9}=a ), ( - 2.083333(x - 9)^2+78.75 = 50 ))

Explanation:

Step1: Écrire l'équation

On a la fonction $f(x) = a(x - 9)^2 + 78.75$ et on veut trouver $x$ lorsque $f(x) = 50$. Donc l'équation est $a(x - 9)^2 + 78.75 = 50$. D'abord, on doit trouver la valeur de $a$. On utilise un point de la table, par exemple $(6, 60)$. En substituant $x = 6$ et $f(x) = 60$ dans la fonction :
$$60 = a(6 - 9)^2 + 78.75$$
$$60 = a(-3)^2 + 78.75$$
$$60 = 9a + 78.75$$

Step2: Résoudre pour $a$

On soustrait $78.75$ des deux côtés :
$$60 - 78.75 = 9a$$
$$-18.75 = 9a$$
Puis on divise par $9$ :
$$a = \frac{-18.75}{9} = -2.083333... = -\frac{25}{12}$$

Step3: Substituer $a$ dans l'équation et résoudre pour $x$

Maintenant, on remplace $a$ dans l'équation $a(x - 9)^2 + 78.75 = 50$ :
$$-\frac{25}{12}(x - 9)^2 + 78.75 = 50$$
On soustrait $78.75$ des deux côtés :
$$-\frac{25}{12}(x - 9)^2 = 50 - 78.75$$
$$-\frac{25}{12}(x - 9)^2 = -28.75$$
On multiplie des deux côtés par $-\frac{12}{25}$ :
$$(x - 9)^2 = -28.75 \times (-\frac{12}{25})$$
$$(x - 9)^2 = \frac{345}{25} = 13.8$$
Non, attend, on a fait une erreur. Attends, $-28.75 = -\frac{115}{4}$, et $-\frac{115}{4} \times (-\frac{12}{25}) = \frac{115 \times 12}{4 \times 25} = \frac{1380}{100} = 13.8$? Non, en réalité, $78.75 - 50 = 28.75$, donc l'équation correcte après avoir isolé le carré est :
$$-\frac{25}{12}(x - 9)^2 = 50 - 78.75 = -28.75$$
En multipliant par $-\frac{12}{25}$ :
$$(x - 9)^2 = (-28.75) \times (-\frac{12}{25}) = \frac{28.75 \times 12}{25}$$
$28.75 = \frac{115}{4}$, donc :
$$(x - 9)^2 = \frac{115}{4} \times \frac{12}{25} = \frac{115 \times 3}{25} = \frac{345}{25} = 13.8$$ Non, c'est faux. Attends, $28.75 \times 12 = 345$, $345 \div 25 = 13.8$? Non, $25 \times 13.8 = 345$, oui. Puis on prend la racine carrée des deux côtés :
$$x - 9 = \pm \sqrt{13.8} \approx \pm 3.7148$$
Donc $x = 9 \pm 3.7148$. Donc $x \approx 9 + 3.7148 = 12.7148$ ou $x \approx 9 - 3.7148 = 5.2852$. Mais on vérifie avec la table. Attends, peut - être qu'on a utilisé le mauvais point. Utilisons $(12, 75)$ :
En substituant $x = 12$ et $f(x) = 75$ dans $f(x) = a(x - 9)^2 + 78.75$ :
$$75 = a(12 - 9)^2 + 78.75$$
$$75 = 9a + 78.75$$
$$9a = 75 - 78.75 = -3.75$$
$$a = \frac{-3.75}{9} = -\frac{5}{12} \approx -0.4167$$
Ah, on a fait une erreur dans le point. On devrait utiliser $(12, 75)$ au lieu de $(6, 60)$. Donc réessayons :

Step1 (corrigé) : Trouver $a$ avec $(12, 75)$

$f(x) = a(x - 9)^2 + 78.75$, $x = 12$, $f(x) = 75$ :
$$75 = a(12 - 9)^2 + 78.75$$
$$75 = 9a + 78.75$$
$$9a = 75 - 78.75 = -3.75$$
$$a = \frac{-3.75}{9} = -\frac{5}{12} \approx -0.416666...$$

Step2 (corrigé) : Écrire l'équation avec $a = -\frac{5}{12}$

Maintenant, l'équation est $-\frac{5}{12}(x - 9)^2 + 78.75 = 50$
On soustrait $78.75$ des deux côtés :
$$-\frac{5}{12}(x - 9)^2 = 50 - 78.75 = -28.75$$
On multiplie des deux côtés par $-\frac{12}{5}$ :
$$(x - 9)^2 = -28.75 \times (-\frac{12}{5})$$
$$(x - 9)^2 = \frac{345}{5} = 69$$
Non, $-28.75 \times (-\frac{12}{5}) = \frac{28.75 \times 12}{5} = \frac{345}{5} = 69$. Oui, car $28.75 = \frac{115}{4}$, donc $\frac{115}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{115 \times 3}{5} = 69$.

Step3 (corrigé) : Résoudre pour $x$

Maintenant, $(x - 9)^2 = 69$? Non, attend, $-28.75 = -\frac{115}{4}$, et $-\frac{115}{4} \times (-\frac{12}{5}) = \frac{115 \times 12}{4 \times 5} = \frac{115 \times 3}{5} = 69$. Oui. Donc :
$$x - 9 = \pm \sqrt{69} \approx \pm 8.3066$$
Donc $x = 9 + 8.3066 \approx 17.3066$ ou $x = 9 - 8.3066 \approx 0.6934$. Mais la table a des valeurs de $x$ (temps) de 2, 4, 6, 9, 12, 14. Donc peut - être qu'on a encore fait une erreur. Attends, la fonction est une parabole ouverte vers le bas (car $a$ est négatif), et le sommet est en $x = 9$, $f(x) = 78.75$. On veut trouver quand $f(x) = 50$. Donc on résout $-\frac{5}{12}(x - 9)^2 + 78.75 = 50$
$$-\frac{5}{12}(x - 9)^2 = 50 - 78.75 = -28.75$$
$$(x - 9)^2 = \frac{28.75 \times 12}{5} = \frac{345}{5} = 69$$
$$x - 9 = \pm \sqrt{69} \approx \pm 8.3066$$
Donc $x \approx 9 + 8.3066 \approx 17.31$ ou $x \approx 9 - 8.3066 \approx 0.69$. Mais la table commence à $x = 2$, donc $x \approx 0.69$ est avant le début des travaux ( $x = 2$ ), et $x \approx 17.31$ est après $x = 14$. Mais peut - être que la fonction est définie pour $x$ en dehors de la table. Ou peut - être qu'on a pris le mauvais point pour trouver $a$. Essayons avec $(6, 60)$ :
$f(6)=60=a(6 - 9)^2+78.75$
$60 = 9a + 78.75$
$9a = 60 - 78.75=-18.75$
$a=\frac{-18.75}{9}=-\frac{25}{12}\approx - 2.0833$
Alors l'équation est $-\frac{25}{12}(x - 9)^2+78.75 = 50$
$-\frac{25}{12}(x - 9)^2=50 - 78.75=-28.75$
$(x - 9)^2=\frac{28.75\times12}{25}=\frac{345}{25}=13.8$
$x - 9=\pm\sqrt{13.8}\approx\pm3.7148$
$x = 9\pm3.7148$, donc $x\approx12.7148$ ou $x\approx5.2852$
Maintenant, $x\approx5.2852$ (environ 5,3 semaines) et $x\approx12.7148$ (environ 12,7 semaines). Regardons la table : à $x = 4$, $f(x)=35$ ; à $x = 6$, $f(x)=60$ ; à $x = 9$, $f(x)=78.75$ ; à $x = 12$, $f(x)=75$ ; à $x = 14$, $f(x)=60$. Donc la fonction augmente de $x = 2$ à $x = 9$, puis diminue de $x = 9$ à $x = 14$. Donc $f(x)=50$ devrait être entre $x = 4$ (35) et $x = 6$ (60) (donc $x\approx5.28$) et entre $x = 12$ (75) et $x = 14$ (60) (donc $x\approx12.71$).

Answer:

Les moments où la profondeur est de 50 m sont environ $x \approx 5.29$ semaines et $x \approx 12.71$ semaines (en utilisant $a = -\frac{25}{12}$) ou en utilisant $a = -\frac{5}{12}$, on a des valeurs différentes, donc il y a eu une erreur dans le choix du point. La bonne méthode est de déterminer $a$ correctement. En utilisant le point $(9, 78.75)$ comme sommet, et un autre point, par exemple $(6, 60)$ :

$f(x)=a(x - 9)^2+78.75$

$60=a(6 - 9)^2+78.75\implies60 = 9a+78.75\implies9a=-18.75\implies a =-\frac{18.75}{9}=-\frac{25}{12}$

Ensuite, $50=-\frac{25}{12}(x - 9)^2+78.75$

$-\frac{25}{12}(x - 9)^2=50 - 78.75=-28.75$

$(x - 9)^2=\frac{28.75\times12}{25}=13.8$

$x - 9=\pm\sqrt{13.8}\approx\pm3.71$

$x = 9\pm3.71\implies x_1\approx5.29$, $x_2\approx12.71$

Donc les réponses sont $x \approx 5.29$ et $x \approx 12.71$ (en semaines).