Question

the length of side \\(\overline{hg}\\) is \\(\boxed{}\\).

Explanation:

Step1: Analizar el triángulo \( \triangle EFH \)

En \( \triangle EFH \), \( \angle E = 60^\circ \), \( \angle EHF = 90^\circ \), entonces \( \angle EFH = 30^\circ \). El lado \( EF = 14 \), y en un triángulo rectángulo con ángulo de \( 30^\circ \), el cateto opuesto a \( 30^\circ \) (que es \( EH \)) es la mitad de la hipotenusa. Pero también, como \( EF = FG = 14 \), el triángulo \( EFG \) es isósceles, y la altura \( FH \) divide \( EG \) en dos segmentos iguales? Wait, no, primero veamos \( \triangle EFH \): es un triángulo rectángulo con \( \angle E = 60^\circ \), \( EF = 14 \). Entonces, el cateto \( EH \) se puede encontrar usando el coseno: \( \cos(60^\circ) = \frac{EH}{EF} \), así que \( EH = EF \cdot \cos(60^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \).

Step2: Analizar el triángulo \( \triangle FHG \)

Ahora, \( \triangle FHG \) es un triángulo rectángulo (ya que \( \angle FHG = 90^\circ \)), y \( FG = 14 \), \( FH \) es el mismo en ambos triángulos (ya que es la altura). Además, como \( EF = FG = 14 \) y \( FH \) es común, y \( \angle EHF = \angle GHF = 90^\circ \), entonces \( \triangle EFH \cong \triangle FHG \) por el teorema HL (hipotenusa - cateto). Por lo tanto, \( EH = HG \).

Step3: Conclusión

Como \( EH = 7 \), entonces \( HG = 7 \).

Answer:

7