Question

lors d’une expédition en montagne, la température peut chuter rapidement. voici des renseignements concernant la température au camp de base d’un groupe de randonneurs.

• afin de se chauffer, les randonneurs doivent allumer des brûleurs dans leur campement dès que la température est inférieure ou égale à 0 °c.
• pour chacun de ses prochains jumelles, les modèles météorologiques prévoient que la température ( t(a) ) (en ( ^circ \text{c} )) variera selon la règle ( t(a) = 1.4(a - 12) - 8 ), où ( a ) est le temps écoulé (en h) depuis le début de la journée.
• la quantité de combustible disponible ( q_1(b) ) (en l) varie selon la règle ( q_1(b) = -0.8b + 8 ), où ( b ) est le temps (en h) lors de la température est en dehors de ( 0 ^circ \text{c} ).
• à la suite d’un bris de matériel survenu après 42 heures d’utilisation des brûleurs, la quantité de combustible ( q_2(c) ) (en l) s’est mise à varier selon la règle ( q_2(c) = \frac{c_0}{e^{c - 12}} ), où ( c ) est le temps écoulé (en h) depuis le bris et ( c_0 ) la quantité de combustible disponible (en l) au moment du bris.
• pour des raisons de sécurité, la quantité minimale de combustible disponible au camp de base doit être d’au moins 1,1 l.

démontrez qu’il n’est pas sécuritaire de rester 5 jours au camp de base.

Explanation:

Step1: Définir la cible température

On cherche \(t\) tel que \(T(t) = 0\)
\(1.4(t - 12) - 8 = 0\)

Step2: Résoudre pour \(t\)

Isoler \(t\) :
\(1.4(t - 12) = 8\)
\(t - 12 = \frac{8}{1.4} \approx 5.71\)
\(t \approx 12 + 5.71 = 17.71\) heures

Step3: Calculer durée de chauffage par jour

Durée par jour : \(17.71 - 0 = 17.71\) h

Step4: Calculer consommation par jour

Pour \(b = 17.71\), calculer \(Q_b(b)\) :
\(Q_b(17.71) = -0.8\sqrt{17.71} + 8\)
\(\sqrt{17.71} \approx 4.21\)
\(Q_b(17.71) \approx -0.8 \times 4.21 + 8 \approx -3.37 + 8 = 4.63\) L/jour

Step5: Consommation totale sur 5 jours

\(5 \times 4.63 = 23.15\) L

Step6: Calculer perte de combustible

Après 42 h, calculer \(Q_c(42)\) :
\(Q_c(42) = \frac{42}{e^{12}} \approx \frac{42}{162754.79} \approx 0.00026\) L (négligeable)

Step7: Combustible minimum requis

On a besoin de 23.15 L, mais la quantité minimale disponible est 1.1 L.

Step8: Comparer besoins et disponibilité

\(23.15 > 1.1\), la quantité disponible est insuffisante.

Answer:

La quantité minimale de combustible disponible (1,1 L) est bien inférieure à la consommation totale nécessaire pour 5 jours (environ 23,15 L). Il n'est donc pas sécuritaire de rester 5 jours au camp de base.