Question

complete with <, >, or =.

Explanation:

Step1: Analizar triángulos rectángulos

Ambos triángulos son rectángulos. En un triángulo rectángulo, el ángulo agudo se relaciona con los catetos: el ángulo agudo es mayor cuando el cateto opuesto es mayor (o el cateto adyacente es menor), por la relación trigonométrica $\tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$.

Step2: Comparar ángulos $\angle 1$ y $\angle 2$

Observando los triángulos, el cateto opuesto a $\angle 1$ y $\angle 2$: en el primer triángulo (con cateto vertical $8$) y el segundo (con cateto vertical $7$). El cateto adyacente (horizontal) parece ser el mismo en ambos (marcado con segmentos iguales). Entonces, para $\angle 2$: $\tan(\angle 2)=\frac{8}{\text{cateto adyacente}}$, y para $\angle 1$: $\tan(\angle 1)=\frac{7}{\text{cateto adyacente}}$. Como $\frac{8}{\text{cateto adyacente}}>\frac{7}{\text{cateto adyacente}}$, entonces $\tan(\angle 2)>\tan(\angle 1)$. Como la función tangente es creciente en el intervalo de ángulos agudos ($0^\circ$ a $90^\circ$), entonces $\angle 2>\angle 1$, es decir, $\angle 1<\angle 2$? Espera, no, wait: wait, en el primer triángulo (arriba) el ángulo $\angle 2$ tiene cateto opuesto $8$? No, wait, el triángulo de arriba: cateto vertical es $8$, cateto horizontal es el mismo que el de abajo? Y el triángulo de abajo: cateto vertical es $7$, cateto horizontal es el mismo. Entonces, $\angle 2$ está en el triángulo con cateto vertical $8$, $\angle 1$ en el con cateto vertical $7$. Entonces, $\tan(\angle 2)=\frac{\text{cateto horizontal}}{\text{cateto vertical}}$? Wait, quizás me equivoqué de opuesto y adyacente. Wait, en un triángulo rectángulo, el ángulo agudo: el cateto opuesto es el que no forma el ángulo. Entonces, en el triángulo de arriba (ángulo $\angle 2$), el cateto opuesto es el cateto horizontal (igual que el de abajo), y el cateto adyacente es el vertical ($8$). En el triángulo de abajo (ángulo $\angle 1$), el cateto opuesto es el cateto horizontal (igual), y el cateto adyacente es el vertical ($7$). Entonces, $\tan(\angle 2)=\frac{\text{cateto opuesto}}{8}$, $\tan(\angle 1)=\frac{\text{cateto opuesto}}{7}$. Como el cateto opuesto es el mismo, entonces $\frac{\text{cateto opuesto}}{8}<\frac{\text{cateto opuesto}}{7}$, así que $\tan(\angle 2)<\tan(\angle 1)$. Por lo tanto, $\angle 2<\angle 1$? Wait, no, me confundí. Wait, el ángulo: si el cateto adyacente es mayor, el ángulo es menor. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo, si el cateto adyacente es muy grande, el ángulo agudo es pequeño. Entonces, $\angle 2$ tiene cateto adyacente $8$ (mayor que $7$ del $\angle 1$), entonces $\angle 2<\angle 1$? No, wait, no: $\tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$. Entonces, si el adyacente es mayor, y el opuesto es igual, entonces $\tan(\theta)$ es menor, así que $\theta$ es menor. Entonces, $\angle 2$ tiene adyacente $8$, $\angle 1$ adyacente $7$, opuesto igual. Entonces $\tan(\angle 2)=\frac{\text{opuesto}}{8}$, $\tan(\angle 1)=\frac{\text{opuesto}}{7}$. Entonces $\tan(\angle 2)<\tan(\angle 1)$, así que $\angle 2<\angle 1$, es decir, $\angle 1>\angle 2$? Wait, no, el triángulo de arriba: el ángulo $\angle 2$ es el agudo que no es el rectángulo, y el triángulo de abajo: $\angle 1$ es el agudo. Entonces, si el cateto vertical de arriba es $8$ (mayor que $7$ de abajo), entonces el ángulo $\angle 2$ es más pequeño que $\angle 1$? Porque en un triángulo rectángulo, el ángulo agudo es complementario al otro ángulo agudo. Wait, quizás una forma más sencilla: ambos triángulos tienen el mismo cateto horizontal (igual número de segmentos), y el cateto vertical de arriba es $8$, de abajo es $7$. Entonces, el triángulo de arriba es "más alto" (cateto vertical $8$), así que su ángulo agudo ($\angle 2$) es más pequeño que el del triángulo de abajo ($\angle 1$), porque el triángulo de abajo es "más ancho" en proporción (cateto vertical $7$ es menor, así que el ángulo agudo es mayor). Entonces, $\angle 1>\angle 2$, es decir, $m\angle 1 > m\angle 2$? Wait, no, wait the options: the options are >, =, <. Wait, maybe I got the angles reversed. Let's re-express:

Triángulo superior: cateto vertical = 8, cateto horizontal = x (same as inferior). Then angle 2: tan(angle 2) = x / 8.

Triángulo inferior: cateto vertical = 7, cateto horizontal = x. Then angle 1: tan(angle 1) = x / 7.

Since x/7 > x/8 (because 7 < 8, so 1/7 > 1/8), then tan(angle 1) > tan(angle 2). Since tan is increasing in [0, 90), angle 1 > angle 2. So m∠1 > m∠2.

Answer:

$>$ (es decir, $m\angle 1 > m\angle 2$)