Question

7 a point p = (3, 5) is 2/3 of the way along segment ab from point b. if the coordinates of point b are b = (6, 7), what are the coordinates of point a? 8 in what ratio does p = (62, 17) divide segment ab in the cartesian coordinate plane below from point b? a(2, 42) b(98, 2) 9 in the cartesian plane below, point p is one of the points along line segment ab. the distance between points p and b is twice the distance between points a and p. what are the coordinates of point p? a(5, 10) b(65, 25) 10 by using a ratio of 1 : 1, derive the formula for the mid - point of a line segment ab by using the formula for the division point of a line segment. remember that the formula to calculate the coordinates of the mid - point of a line segment ab is: x_m=(x_1 + x_2)/2,y_m=(y_1 + y_2)/2 where (x_m,y_m) are the coordinates of the mid - point.

Explanation:

Step1: 7번 문제 풀이를 위한 식 세우기

점 $P(x_p,y_p)$가 $B(x_b,y_b)$에서 $A(x_a,y_a)$로 가는 선분 $AB$의 $\frac{m}{n}$ 지점에 있다면, $x_p=\frac{mx_a + nx_b}{m + n}$, $y_p=\frac{my_a+ny_b}{m + n}$이다. 여기서 $P=(3,5)$, $B=(6,7)$이고 $\frac{m}{n}=\frac{2}{1}$ 이므로, $3=\frac{2x_a+1\times6}{2 + 1}$, $5=\frac{2y_a+1\times7}{2 + 1}$이다.

Step2: 7번 문제 x - 좌표 계산

$3=\frac{2x_a+6}{3}$에서 양변에 3을 곱하면 $9 = 2x_a+6$, $2x_a=9 - 6=3$, $x_a=\frac{3}{2}$이다.

Step3: 7번 문제 y - 좌표 계산

$5=\frac{2y_a+7}{3}$에서 양변에 3을 곱하면 $15 = 2y_a+7$, $2y_a=15 - 7 = 8$, $y_a = 4$이다.

Step4: 8번 문제 비율 계산

$P=(62,17)$, $A=(2,42)$, $B=(98,2)$일 때, $P$가 $B$로부터 $AB$를 $m:n$으로 나눈다고 하면, $62=\frac{m\times2+n\times98}{m + n}$, $17=\frac{m\times42+n\times2}{m + n}$이다. 첫 번째 식 $62(m + n)=2m+98n$에서 $62m+62n=2m + 98n$, $60m=36n$, $\frac{m}{n}=\frac{3}{5}$이다.

Step5: 9번 문제 풀이를 위한 식 세우기

$PB = 2AP$이므로 $P$가 $A$로부터 $AB$를 $1:2$로 나눈다. $A=(5,10)$, $B=(65,25)$일 때, $x_p=\frac{1\times65+2\times5}{1 + 2}$, $y_p=\frac{1\times25+2\times10}{1 + 2}$이다.

Step6: 9번 문제 x - 좌표 계산

$x_p=\frac{65 + 10}{3}=\frac{75}{3}=25$이다.

Step7: 9번 문제 y - 좌표 계산

$y_p=\frac{25+20}{3}=\frac{45}{3}=15$이다.

Step8: 10번 문제 공식 유도

$A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$이고 비율이 $1:1$일 때, 중간점 $M=(x_m,y_m)$의 좌표는 $x_m=\frac{1\times x_1+1\times x_2}{1 + 1}=\frac{x_1+x_2}{2}$, $y_m=\frac{1\times y_1+1\times y_2}{1 + 1}=\frac{y_1+y_2}{2}$이다.

Answer:

7번 문제: $A=(\frac{3}{2},4)$
8번 문제: $\frac{3}{5}$
9번 문제: $P=(25,15)$
10번 문제: $x_m=\frac{x_1+x_2}{2}$, $y_m=\frac{y_1+y_2}{2}$가 유도됨.